贝尔级数
符号：
(cdot)表示函数点乘，(*)表示迪利克雷卷积
(p)无特殊声明均表示质数。
定义(f)在模(p)意义下的贝尔级数：
(f_p(x)=sum_{0leq i} f(p^i)x^i)
若(f)是完全积性函数则有：
(f_p(x)=sum_{0leq i} f(p)^ix^i)
根据等比数列求和公式可得：
(f_p(x)=frac{1}{1-f(p)x})
根据函数定义可得：
(e_p(x)=1),(1_p(x)=frac{1}{1-x})
因为函数(ID)为完全积性，所以其函数为：
(ID_p(x)=frac{1}{1-px})
同样也可得：(ID_k(x)=x^k,(ID_k)_p(x)=frac{1}{1-p^kx})
(mu(x))有对于任意(k>2,mu(p^k)=0)。
因此只有两项有非零系数，
(mu_p(x)=1-x,mu^2(x)=1+x，(IDcdot mu)_p(x)=1-px)
重要结论：
((f* g)_p(x)=f_p(x)g_p(x))
证明：
((f* g)(n)=sum_{d|n} f(d)g(n/d))
((f* g)(p^n)=sum_{i=0}^n f(p^i)g(p^{n-i}))
((f* g)_p(x)=sum_{0leq i} sum_{j=0}^{i} f_p(x)[j]g_p(x)[i-j])
((f* g)_p(x)=f_p(x)g_p(x))
因为(phi=mu* ID,d=1*1,s=1*id),
(phi_p(x)=frac{1-x}{1-px},d_p(x)=frac{1}{1-2x-x^2},s_p(x)=frac{1}{1-x-px+px^2})
(sigma_k(n)=sum_{d|n} d^k=1*ID_k)
(sigma_k(x)=frac{1}{(1-p^kx)(1-x)})
有一个少见的函数(lambda(x)) (刘维尔函数)
定义：
(for x=prod p_i^{a_i} , sum a_i=z, lambda(x)=(-1)^z)
显然此函数完全积性，带入公式有：
(lambda_p(x)=frac{1}{1+x})
重要定理，也是应用基石：
对于两个积性函数(f(x),g(x))，
如果有(f_p(x)=g_p(x)) ，那么(f(x)=g(x))
证明： (forall x=prod p_i^{a_i},f(x)=prod f(p_{i}^{a_i})=prod f_{p_i}(x)[a_i]=prod g_{p_i}(x)[a_i]=g(x))
不重要定理：
如果一个积性函数(f)和任何算数函数(g)满足(f(p^{n+1})=f(p)f(p^n)-g(p)f(p^{n-1})) 对于所有的(p)和(ngeq 1)，
那么有(f_p(x)=frac{1}{1-f(p)x+g(p)x^2})。
证明：
考虑这个类似于生成函数的东西，用类似生成函数次数平移对齐相减的方式，补齐
(f_p(x)=f(p)f_p(x)x-g(x)f_p(x)x^2+1)
但实际上很蠢，目前感觉也妹啥用处。
不重要函数：
定义(mu_k(n)=sum_{d^k|n} mu_{k-1}(frac{n}{d^k})mu_{k-1}(frac{n}{d}))
有((mu_k)_p(x)=frac{1-2x^k+x^{k+1}}{1-x})
证明：
将式子数学归纳法，可以得到这个序列实际上是(+1，-1)交替的序列
上式大除法即为交替序列。
贝尔级数类似于数论领域的生成函数，给我们提供了一种解决迪利克雷卷积的简便方式，提供了凑式子的方向。
下为例子：
首先回顾一下杜教筛，杜教筛的流程是先求一个好求得前缀和，然后后面的部分数论分块递归处理。注意到递归处理绝不是难点，所以杜教筛的难度在求卷积后性质良好的前缀和。
Ques：求(sum_{i=1}^n iphi(i))
首先通过等比数列求和的方式先得到一个 (icdot phi)的贝尔级数
((icdot phi)_p(x)=frac{1-px}{1-p^2x})
注意到((ID^2)_p(x)=frac{1}{1-p^2x})这个前缀和显然很好求，又有(ID_p(x)=frac{1}{1-px})
所以把它和(ID)卷一卷。
Ques：求(sum_{i=1}^n sum_{d|i} mu^2(d)frac{n}{d}mu(frac{n}{d}))
首先容易发现这个求前缀和的函数实际上是(mu^2*(IDcdotmu))
写出贝尔级数((1+x)(1-px)) ，很套路的发现卷(ID)可得(mu^2)
(mu^2)不难求，按照因数个数进行容斥：
(sum_{i=1}^n mu^2(i)=sum_{ileqsqrt n} lfloorfrac{n}{i^2} floormu(i))
杜教筛即可。
Ques：(f(1)=1,f(p^c)=p^c+(-1)^c)，且(f)为积性函数。
看上去像(f_p(x)=ID_p(x)+lambda_p(x))，但第一项不太对，修一下变成
(f_p(x)=ID_p(x)+lambda_p(x)-e_p(x))
贝尔级数：(frac{1-px^2}{(1-px)(1+x)})
有没有发现分母跟上题的贝尔级数一模一样？卷一下继续杜教筛。