普通的牛顿二项式定理在高中学习过的，当乘方为正整数的时候，但是有些时候需要用到不一定是正整数的情况（比如生成函数），需要用到分数或者负数等等，于是广义牛顿二项式定理就出来了。
首先我们引入牛顿二项式系数${r choose n}$。
牛顿二项式系数定义:
设r为实数，n为整数，引入形式符号
$${r choose n}=
egin{cases}
0， & n<0\
1， & n=0\
frac{r(r-1)cdots (r-n+1)}{n!}， & n>0
end{cases}$$
广义牛顿二项式定理：
$(x+y)^{alpha}=sum_{n=0}^infty{alpha choose n}x^{n}y^{alpha-n}$
其中x，y，α为实数，且$midfrac{x}{y}mid<1$
证明：
证明需要用到数学分析的知识，没学过的话，应该看不懂2333。
令$z=frac{x}{y}$则有：
$(x+y)^{alpha}=y^{alpha}(1+z)^{alpha}，mid zmid <1$
设$f(z)=(1+z)^{alpha}$，于是有：
$f^{(n)}(z)=alpha (alpha -1)cdots (alpha -n+1)(1+z)^{alpha -n}$
因此，当z0=0时，这个函数的泰勒公式（此时应该称为麦克劳林展开式）有如下形式：
$(1+z)^{alpha} =1+frac{alpha}{1!}z+frac{alpha (alpha -1)}{2!}z^{2}+cdots +frac{alpha (alpha -1)cdots (alpha -n+1)}{n!}z^{n}+r_n(0;z)$
也就是：
$(1+z)^{alpha}=1+{alpha choose 1}z+{alpha choose 2}z^{2}+cdots +{alpha choose n}z^{n}+r_n(0;z)$
将余项使用柯西公式得：
$r_n(0;z)=frac{alpha (alpha -1)cdots (alpha -n)}{n!}(1+ξ)^{alpha -n}(z-ξ)^{n}z$
其中ξ介于0到z之间.
将余项变形一下可得:
$r_n(0;z)=alpha (1-frac{alpha}{1})cdots (1-frac{alpha}{n})(1+ξ)^{alpha}(frac{z-ξ}{1+ξ})^{n}z$
因为当$mid zmid <1$的时候，从ξ在0和z之间这个条件可以推出:
$mid frac{z-ξ}{1+ξ}mid =frac{mid zmid -mid ξmid}{mid 1+ξmid}leq frac{mid zmid -mid ξmid}{1-mid ξmid}=1-frac{1-mid zmid}{1-mid ξmid}leq 1-(1-mid zmid)=mid zmid$
于是$mid r_n(0;z)mid leqmid alpha (1-frac{alpha}{1})cdots (1-frac{alpha}{n})mid (1+ξ)^{alpha}mid zmid ^{n+1}$
因为$mid r_{n+1}(0;z)midleqmid r_n(0;z)mid imes mid (1-frac{alpha}{n+1})zmid$又因为$mid zmid <1$，所以，如果$mid zmid <q<1$，则不管$alpha$值如何，对于足够大的n将有$mid (1-frac{alpha}{n+1})zmid <q<1$，这就是说当$n ightarrowinfty$时，有$r_n(0;z) ightarrow 0$，由此说明当$mid zmid <1$的时候，无穷级数$1+{alpha choose 1}z+{alpha choose 2}z^{2}+cdots +{alpha choose n}z^{n}+cdots (*)$收敛于$(1+z)^{alpha}$。
这时对于式子$y^{alpha}(1+z)^{alpha}，mid zmid <1$将左边展开成无穷级数再将$y^alpha$乘上就得到了我们的$(x+y)^{alpha}=sum_{n=0}^infty{alpha choose n}x^{n}y^{alpha-n}$
当$mid zmid >1$时，由达朗贝尔比值检验法可以得出，只要$alpha otinmathbb{N}$，级数(*)总是发散的。
特别地，当$alphainmathbb{N}$时，对函数$f(z)$来说，任意高于n阶的导数均为0，余项为0，直接展开就完事了，展开得到的就是高中学过的二项式定理。
参考资料卓里奇的《数学分析》与屈婉玲《离散数学》