最清楚的01背包问题讲解

题目：

01背包问题描述：有编号分别为a,b,c,d,e的N=5件物品，它们的重量w分别是2,2,6,5,4，它们的价值v分别是6,3,5,4,6，每件物品数量只有一个，现在给你个承重为M=10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和sum_v？

在DP(dynamic programming，动态规划)问题中，01背包问题是比较基础和简单的了，但是网上很多人的讲解要么长长一大段，长篇公式理论，要么就是知识把状态转移方程列了出来，而没有说明为什么方程是这么写的，下面我力图将01背包问题中最简单最核心的概念和思路讲一下：

1. 此01背包问题本质上是穷举背包容量和可供选择的物品(意思是里面的物品可能会放进背包，可能不会放进背包)，取得最优解，只不过在穷举的过程中，会根据状态转移方程，只计算可能获得的最优解的部分，不去计算不是最优解的部分。具体来看，解题思路是把该问题分解为一个一个的小问题，一步步的通过小问题的最优解，最终得到大问题的最优解，跟我们人脑解题的思路是一样的。比如第一个小问题是“当我的背包承重M=1，只有编号为a的物品可供选择时，最优解是什么”，然后下一个小问题是建立在前一个小问题的基础上“当我的背包承重M=1，有编号为a,b的物品可供选择时，最优解是什么”，以此类推。

2. 为什么能列出状态转移方程？是因为每个状态的最优解，都是根据之前的状态的最优解获得的。具体到背包问题，有以下几点：

　　a) 当物品备选情况（物品备选情况指：可供选择的物品的集合）一致时，背包容量M越大，那么sum_v一定大于等于原来的值。

　　b) 背包容量M确定时，可供选择的物品N越多，那么sum_v一定大于等于原来的值。

　　c) 由a)和b)可得，sum_v的最大值就是当M和N取到最大值时的sum_v

　　c) 从思路上说，01背包问题有两个维度：背包容量M，和供选择物品数N。编程的本质是实现人类解决现实问题的思路。仔细想想，如果不借助计算机，你该如何解决这个问题？答案是，例如考虑M=1时，先考虑a能否放入背包，取得最大值，再考虑a和b能否放入背包（a和b都是备选，最终放入背包的可能是a，可能是b，也可能是ab），这时因此与之前只考虑a的情况相比，多了一个b，所以：

• 要先判断b能否单独放进背包：
  •        如果不能，那么备选为a,b时最大值，等于备选只有a时的最大值（因为b是放不进背包的）。
  • 　　如果能，即b能够放进去，还有两种可能（即将b放进背包，和不将b放进背包），对这两种可能性，要取最大值：
    • • 　　最终将b放进去(注：此时物品a是否被放进背包是未知的，原因是：剩余的背包容量可能不足以放进物品a，即要在剩余可选物品里找出最优解。
      • 　　最终没有将b放进去（因为后面可能有比b更合适的物品放进去），此时最大值等于备选只有a时的最大值

　　用数学的方式描述上段话：sum_v[i][j]表示将前i件物品列为备选，背包容量为j时，能获得的最大价值；w[i]表示第i件物品的重量，v[i]表示第i件物品的价值

#此时背包容量 M=1
if 1 >=w[2]:
    sum_v[2][1] = max(sum_v[1][j-w[2]] + v[2], sum_v[1][1])
else:
    sum_v[2][1] = sum_v[1][1]

　　推广到任意情况，即得到我们的状态转移方程：

if j >=w[i]:
    sum_v[i][j] = max(sum_v[i-1][j-w[i]] + v[i], sum_v[i-1][j])
else:
    sum_v[i][j] = sum_v[i-1][j]

　　sum_v的最大值就是sum_v[i][j]的最后一个元素

如何读图： 例如填充红色格子这里，指在容量M=3，将a,b,c,d 这4件物品考虑在内时，可以取得的最大价值。

3. 计算时进行简单的数据结构改造。因为当i=1时，即计算开始阶段，还要考虑到如果第1件物品放不进去的情况，此时没有物品在背包中，因此重量和价值都是0.因此需要在表示物品重量和价值的列表前加一个数据0。

另外，当没有物品在背包中时，价值为0.所以需要sum_v[i][j]初始值全部设为0.

下面是详细代码：

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding:utf-8 -*-
import copy

class ZOPACK(object):
    def __init__(self,n,m,w,v):
        self.num = n
        self.capacity = m
        self.weight_list = [0,] + w
        self.value_list = [0,] + v
        self.Sum_Value_Metrix = self.__CreateMetrix__(self.num+1,self.capacity+1,0)
        
    def __CreateMetrix__(self,x,y,init_value):
        d2_list = []
        for i in range(x):
            d1_list = []
            for j in range(y):
                d1_list.append(init_value)
            d2_list.append(d1_list)
        return d2_list
        
    def dp(self):
        sum_v = self.Sum_Value_Metrix
        num = self.num
        capacity = self.capacity
        w = self.weight_list
        v = self.value_list
        for i in range(1,num+1):
            for j in range(1,capacity+1):
                if j >=w[i]:
                    #print("i,j:%s,%s" % (i,j))
                    sum_v[i][j] = max(sum_v[i-1][j-w[i]] + v[i], sum_v[i-1][j])
                else:
                    sum_v[i][j] = sum_v[i-1][j]
        print("The max value we can get is: ", sum_v[-1][-1])
        print(sum_v)

if __name__ == "__main__":
    num = 5
    capacity = 10
    weight_list = [2, 2, 6, 5, 4]
    value_list = [6, 3, 5, 4, 6]
    q = ZOPACK(num,capacity,weight_list,value_list)
    q.dp()