732. [网络流24题] 试题库 二分图多重匹配/最大流

«问题描述：
假设一个试题库中有n道试题。每道试题都标明了所属类别。同一道题可能有多个类别属性。现要从题库中抽取m 道题组成试卷。并要求试卷包含指定类型的试题。试设计一个满足要求的组卷算法。
«编程任务：
对于给定的组卷要求，计算满足要求的组卷方案。
«数据输入：
由文件testlib.in提供输入数据。文件第1行有2个正整数k和n (2 <=k<= 20, k<=n<= 1000)k 表示题库中试题类型总数，n 表示题库中试题总数。第2 行有k 个正整数，第i 个正整数表示要选出的类型i 的题数。这k个数相加就是要选出的总题数m。接下来的n行给出了题库中每个试题的类型信息。每行的第1 个正整数p表明该题可以属于p类，接着的p个数是该题所属的类型号。
«结果输出:
程序运行结束时，将组卷方案输出到文件testlib.out 中。文件第i 行输出 “i：”后接类型i的题号。如果有多个满足要求的方案，只要输出1 个方案。如果问题无解，则输出“NoSolution!”。
输入文件示例
testlib.in
3 15
3 3 4
2 1 2
1 3
1 3
1 3
1 3
3 1 2 3
2 2 3
2 1 3
1 2
1 2
2 1 2
2 1 3
2 1 2
1 1
3 1 2 3

输出文件示例

testlib.out

1: 1 6 8
2: 7 9 10
3: 2 3 4 5

【问题分析】

二分图多重匹配问题，用最大流解决。

【建模方法】

建立二分图，每个类别为X集合中的顶点，每个题为Y集合中的顶点，增设附加源S和汇T。

1、从S向每个Xi连接一条容量为该类别所需数量的有向边。
2、从每个Yi向T连接一条容量为1的有向边。
3、如果一个题i属于一个类别j，连接一条从Xj到Yi容量为1的有向边。

求网络最大流，如果最大流量等于所有类别所需之和，则存在解，否则无解。对于每个类别，从X集合对应点出发的所有满流边，指向的B集合中的顶点就是该类别的所选的题（一个可行解）。

【建模分析】

二分图多重匹配问题。X，Y集合之间的边容量全部是1，保证两个点只能匹配一次，源汇的连边限制了每个点匹配的个数。求出网络最大流，如果流量等于X集合所有点与S边容量之和，那么则说明X集合每个点都有完备的多重匹配。

/* 
 * Problem: 线性规划与网络流24题 #7 试题库问题
 * Author: Guo Jiabao
 * Time: 2009.6.27 16:33
 * State: Solved
 * Memo: 网络最大流 二分图多重匹配
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN=1030,MAXM=1000*20*2+MAXN*2,INF=~0U>>1;
struct edge
{
    edge *next,*op;
    int t,c;
}*V[MAXN],*P[MAXN],ES[MAXM],*Stae[MAXN];
int N,M,S,T,EC,Ans,Maxflow,Total;
int Lv[MAXN],Stap[MAXN];
inline void addedge(int a,int b,int c)
{
    ES[++EC].next = V[a]; V[a]=ES+EC; V[a]->t=b; V[a]->c=c;
    ES[++EC].next = V[b]; V[b]=ES+EC; V[b]->t=a; V[b]->c=0;
    V[a]->op = V[b]; V[b]->op = V[a];
}
void init()
{
    int i,j,k,c;
    freopen("data.in","r",stdin);
    freopen("data.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&M,&N);
    S=0; T=N+M+1;
    for (i=1;i<=M;i++)
    {
        scanf("%d",&c);
        Total += c;
        addedge(S,i,c);
    }
    for (i=1;i<=N;i++)
        addedge(i+M,T,1);
    for (i=1;i<=N;i++)
    {
        scanf("%d",&k);
        for (j=1;j<=k;j++)
        {
            scanf("%d",&c);
            addedge(c,i+M,1);
        }
    }
}
bool Dinic_Label()
{
    int head,tail,i,j;
    Stap[head=tail=0]=S;
    memset(Lv,-1,sizeof(Lv));
    Lv[S]=0;
    while (head<=tail)
    {
        i=Stap[head++];
        for (edge *e=V[i];e;e=e->next)
        {
            j=e->t;
            if (e->c && Lv[j]==-1)
            {
                Lv[j] = Lv[i]+1;
                if (j==T)
                    return true;
                Stap[++tail] = j;
            }
        }
    }
    return false;
}
void Dinic_Augment()
{
    int i,j,delta,Stop;
    for (i=S;i<=T;i++)
        P[i] = V[i];
    Stap[Stop=1]=S;
    while (Stop)
    {
        i=Stap[Stop];
        if (i!=T)
        {
            for (;P[i];P[i]=P[i]->next)
                if (P[i]->c && Lv[i] + 1 == Lv[j=P[i]->t])
                    break;
            if (P[i])
            {
                Stap[++Stop] = j;
                Stae[Stop] = P[i];
            }
            else
                Stop--,Lv[i]=-1;
        }
        else
        {
            delta = INF;
            for (i=Stop;i>=2;i--)
                if (Stae[i]->c < delta)
                    delta = Stae[i]->c;
            Maxflow += delta;
            for (i=Stop;i>=2;i--)
            {
                Stae[i]->c -= delta;
                Stae[i]->op->c += delta;
                if (Stae[i]->c==0)
                    Stop = i-1;
            }
        }
    }
}
void Dinic()
{
    while (Dinic_Label())
        Dinic_Augment();
}
void print()
{
    if (Total == Maxflow)
    {
        for (int i=1;i<=M;i++)
        {
            printf("%d: ",i);
            for (edge *e=V[i];e;e=e->next)
                if (e->c == 0 && e->t !=S)
                    printf("%d ",e->t-M);
            putchar('
');
        }
    }
    else
        printf("No Solution!
");
}
int main()
{
    init();
    Dinic();
    print();
    return 0;
}