1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define ll long long 3 using namespace std; 4 5 const int maxn=2e5+15; 6 const int mxn=5e3+15; 7 struct node 8 { 9 int t;int d; 10 bool operator < (const node &a) const 11 { 12 return d>a.d; 13 } 14 }; 15 int n,m; 16 int vis[mxn]; 17 vector <node> e[mxn]; 18 priority_queue <node> q; 19 inline int read() 20 { 21 char ch=getchar(); 22 int s=0,f=1; 23 while (!(ch>='0'&&ch<='9')) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();} 24 while (ch>='0'&&ch<='9') {s=(s<<3)+(s<<1)+ch-'0';ch=getchar();} 25 return s*f; 26 } 27 ll prim() 28 { 29 ll ans=0; 30 int cnt=0; 31 q.push((node){1,0}); 32 while (!q.empty()&&cnt<=n) 33 { 34 node k=q.top();q.pop(); 35 if (vis[k.t]) continue; 36 vis[k.t]=1; 37 ans+=k.d; 38 cnt++; 39 for (int i=0;i<e[k.t].size();i++) 40 if (!vis[e[k.t][i].t]){ 41 q.push((node){e[k.t][i].t,e[k.t][i].d}); 42 } 43 } 44 return ans; 45 } 46 int main() 47 { 48 n=read();m=read(); 49 for (int i=1;i<=m;i++) 50 { 51 int x=read(),y=read(),z=read(); 52 e[x].push_back((node){y,z});e[y].push_back((node){x,z}); 53 } 54 printf("%lld",prim()); 55 return 0; 56 }
MST（Minimum Spanning Tree，最小生成树）问题有两种通用的解法，Prim算法就是其中之一，它是从点的方面考虑构建一颗MST，大致思想是：设图G顶点集合为U，首先任意选择图G中的一点作为起始点a，将该点加入集合V，再从集合U-V中找到另一点b使得点b到V中任意一点的权值最小，此时将b点也加入集合V；以此类推，现在的集合V={a，b}，再从集合U-V中找到另一点c使得点c到V中任意一点的权值最小，此时将c点加入集合V，直至所有顶点全部被加入V，此时就构建出了一颗MST。因为有N个顶点，所以该MST就有N-1条边，每一次向集合V中加入一个点，就意味着找到一条MST的边。
用图示和代码说明：
初始状态：
设置2个数据结构：
lowcost[i]:表示以i为终点的边的最小权值,当lowcost[i]=0说明以i为终点的边的最小权值=0,也就是表示i点加入了MST
mst[i]:表示对应lowcost[i]的起点，即说明边<mst[i],i>是MST的一条边，当mst[i]=0表示起点i加入MST
我们假设V1是起始点，进行初始化（*代表无限大，即无通路）：
lowcost[2]=6，lowcost[3]=1，lowcost[4]=5，lowcost[5]=*，lowcost[6]=*
mst[2]=1，mst[3]=1，mst[4]=1，mst[5]=1，mst[6]=1，（所有点默认起点是V1）
明显看出，以V3为终点的边的权值最小=1，所以边<mst[3],3>=1加入MST
此时，因为点V3的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：
lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=5，lowcost[5]=6，lowcost[6]=4
mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=1，mst[5]=3，mst[6]=3
明显看出，以V6为终点的边的权值最小=4，所以边<mst[6],6>=4加入MST
此时，因为点V6的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：
lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=2，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0
mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=6，mst[5]=3，mst[6]=0
明显看出，以V4为终点的边的权值最小=2，所以边<mst[4],4>=4加入MST
此时，因为点V4的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：
lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0
mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=3，mst[6]=0
明显看出，以V2为终点的边的权值最小=5，所以边<mst[2],2>=5加入MST
此时，因为点V2的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：
lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=3，lowcost[6]=0
mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=2，mst[6]=0
很明显，以V5为终点的边的权值最小=3，所以边<mst[5],5>=3加入MST
lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=0，lowcost[6]=0
mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=0，mst[6]=0
至此，MST构建成功，如图所示：
实现代码如下:
#include<iostream> #include<fstream> using namespace std; #define MAX 100 #define MAXCOST 0x7fffffff int graph[MAX][MAX]; int prim(int graph[][MAX], int n) { int lowcost[MAX]; int mst[MAX]; int i, j, min, minid, sum = 0; for (i = 2; i <= n; i++) { lowcost[i] = graph[1][i]; mst[i] = 1; } mst[1] = 0; for (i = 2; i <= n; i++) { min = MAXCOST; minid = 0; for (j = 2; j <= n; j++) { if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0) { min = lowcost[j]; minid = j; } } cout << "V" << mst[minid] << "-V" << minid << "=" << min << endl; sum += min; lowcost[minid] = 0; for (j = 2; j <= n; j++) { if (graph[minid][j] < lowcost[j]) { lowcost[j] = graph[minid][j]; mst[j] = minid; } } } return sum; } int main() { int i, j, k, m, n; int x, y, cost; ifstream in("input.txt"); in >> m >> n;//m=顶点的个数，n=边的个数 //初始化图G for (i = 1; i <= m; i++) { for (j = 1; j <= m; j++) { graph[i][j] = MAXCOST; } } //构建图G for (k = 1; k <= n; k++) { in >> i >> j >> cost; graph[i][j] = cost; graph[j][i] = cost; } //求解最小生成树 cost = prim(graph, m); //输出最小权值和 cout << "最小权值和=" << cost << endl; system("pause"); return 0; }