P3731 二分图匹配必经边

题意经过一番转换变成了 让你在一个二分图上删一条边使得二分图的最大独立集大小至少+1

二分图的最大独立集=点数-最小点覆盖(最大匹配) 点数是固定不变的 所以我们要减少最大匹配数

则删掉的哪一条边必须是二分图匹配里必须的一条边

做法:先Dinic跑一次 然后Tarjan缩点 找到图中端点不为S/T且满流的边 再判两端点是否属于一个SCC

如果属于一个SCC则必定存在另一个边可以替换掉这条匹配边

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAXN 10100
#define MAXM 150150
#define inf 1e9
inline int read()
{
    int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return t?-x:x;
}
struct Line{int v,next,w;}e[MAXM<<1];
int h[MAXN],cnt=2;
inline void Add(int u,int v,int w)
{
    e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;
    e[cnt]=(Line){u,h[v],0};h[v]=cnt++;
}
int S,T,level[MAXN];
bool bfs()
{
    for(int i=S;i<=T;++i)level[i]=0;
    queue<int> Q;level[S]=1;Q.push(S);
    while(!Q.empty())
    {
        int u=Q.front();Q.pop();
        for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
            if(e[i].w&&!level[e[i].v])
                level[e[i].v]=level[u]+1,Q.push(e[i].v);
    }
    return level[T];
}
int cur[MAXN];
int dfs(int u,int flow)
{
    if(u==T||!flow)return flow;
    int ret=0;
    for(int &i=cur[u];i;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].v,d;
        if(e[i].w&&level[v]==level[u]+1)
        {
            d=dfs(v,min(flow,e[i].w));
            ret+=d;flow-=d;
            e[i].w-=d;e[i^1].w+=d;
            if(!flow)break;
        }
    }
    if(!ret)level[u]=0;
    return ret;
}
int Dinic()
{
    int ret=0;
    while(bfs())
    {
        for(int i=S;i<=T;++i)cur[i]=h[i];
        ret+=dfs(S,inf);
    }
    return ret;
}
vector<pair<int,int> > Ans;
vector<int> E[MAXN];
int n,m,col[MAXN];
void pre(int u,int c){col[u]=c;for(int v:E[u])if(!col[v])pre(v,c^1);}
int dfn[MAXN],low[MAXN],tim,G[MAXN],gr;
int St[MAXN],top;bool ins[MAXN];
void Tarjan(int u)
{
    dfn[u]=low[u]=++tim;St[++top]=u;ins[u]=true;
    for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].v;if(!e[i].w)continue;
        if(!dfn[v])Tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]);
        else if(ins[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(dfn[u]==low[u])
    {
        ++gr;int v;
        do{v=St[top--];G[v]=gr;ins[v]=false;}while(u!=v);
    }
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int u=read(),v=read();
        E[u].push_back(v);
        E[v].push_back(u);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)if(!col[i])pre(i,2);
    S=0;T=n+1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(col[i]==2)
        {
            Add(S,i,1);
            for(int v:E[i])Add(i,v,1);
        }
        else Add(i,T,1);
    int ret=Dinic();
    for(int i=S;i<=T;++i)if(!dfn[i])Tarjan(i);
    for(int u=1;u<=n;++u)
        if(col[u]==2)
            for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
            {
                int v=e[i].v;if(e[i].w)continue;
                if(v==S||v==T)continue;
                if(G[u]!=G[v])Ans.push_back(u<v?make_pair(u,v):make_pair(v,u));
            }
    sort(Ans.begin(),Ans.end());
    printf("%d
",(int)Ans.size());
    for(auto a:Ans)printf("%d %d
",a.first,a.second);
    return 0;
}