BZOJ2705 Longge的问题
题解
表示数论题目根本不会这题一眼看过去，像是欧拉函数，结果也就是欧拉函数搞一搞，但是之前根本没学过，只能直接套个板子了。我们枚举(N)的每一个约数(X)，那么这个约数对于答案的贡献就是(Euler(N/X)*X)。但是这样的复杂度是(O(N*sqrt{N}))，并不满足要求，所以我们考虑只需要枚举小于等于(sqrt{N})的约数，计算这个约数的同时将(N/X)这另一个约数同时处理掉，这样复杂度就会优化到大概(O(sqrt{N}*sqrt{N})=O(N))。然而(N)有(2^{32})那么大，这个玄学的复杂度竟然能够(24ms)跑过去？？！实际上这个复杂度是(sum_{d|N}sqrt{d})，即(N)的所有约数的根号之和，而这个复杂度实际上也就会比(sqrt{N})大一些，并不会爆掉。具体证明的话听同学说是把约数分成(sqrt{N})前一半和后一半，然后分别证明两边复杂度不会太高，最后就能证明出总复杂度并不会到达(O(N))就行了。不过具体的还是不怎么懂。。
ｃｏｄｅ
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
bool Finish_read;
template<class T>inline void read(T &x){Finish_read=0;x=0;int f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;if(ch==EOF)return;ch=getchar();}while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();x*=f;Finish_read=1;}
template<class T>inline void print(T x){if(x/10!=0)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
template<class T>inline void writeln(T x){if(x<0)putchar('-');x=abs(x);print(x);putchar('
');}
template<class T>inline void write(T x){if(x<0)putchar('-');x=abs(x);print(x);}
/*================Header Template==============*/
#define PAUSE printf("Press Enter key to continue..."); fgetc(stdin);
ll n;
/*==================Define Area================*/
ll Euler(ll x) {
ll res=x;
for(int i=2;i*i<=x;i++) {
if(!(x%i)) {
res=res-res/i;
while(!(x%i)) x/=i;
}
}
if(x>1) res-=res/x;
return res;
}
int main() {
read(n);
ll res=0;
for(int i=1;i*i<=n;i++) {
if(!(n%i)) {
res+=1ll*Euler(n/i)*i;
if(i*i<n) res+=1ll*Euler(i)*(n/i);
}
}
printf("%lld
",res);
return 0;
}