知识点：斜率优化DP

目录

• 前言
• 概要
• 知识点讲解
  • 单调性归纳证明
• 练习题
  • BZOJ1096 仓库建设
    • 解题思路
  • BZOJ1911 特别行动队
    • 解题思路

前言

最近刷BZOJ的题目的时候，发现做到了很多题目都是用到了斜率优化，这个优化很早也接触过，但也没有仔细地去学。最近认真的去学了一下，就在这里做个整理

概要

斜率优化是基于单调队列或单调栈的一种优化DP的方式，当DP的决策具有单调性的时候，我们就可以通过维护单调队列或者单调栈来维护这个最优的决策，最终实现(O(1))的DP转移。

知识点讲解

斜率优化如果空着讲实际上有点虚的，所以这里以BZOJ1597这题比较基础的斜率优化DP为例。

单调性归纳证明

之前说过，在使用斜率优化之前，应该证明这个DP转移是具有决策的单调性的。首先我们先知道什么是决策单调性。决策单调性大致就是指对于(dp[i])的转移，如果任意两种转移方式(dp[j] ightarrow dp[i])、(dp[k] ightarrow dp[i])，(j<k)并且从(k)转移至(i)要优于(j)，那么对于(dp[i+1])的转移中，从(k)转移至(i+1)也一定优于(j)。
下面我们开始证明：
对于题目，我们可以先把所有的土地按(a)升序排序，然后对于(b)取出递减的一串（因为如果不是递减的话，那么就可以和别的土地一并购买，对答案并没有贡献，所以可以不用计算）。这样我们就得到了一个(a)递增，(b)递减的序列。这样我们就可以很简单的列出(dp)转移方程。记(dp[i])为枚举到第(i)块土地时，最少的花费为(dp[i])，(a[i],b[i])分别为土地的长和宽，于是我们很容易得到转移方程：(dp[i]=min(dp[j]+a[i]*b[j+1]))，并且这里的(b)是递增的。
现在我们假设有(j)，(k)((j<k))两种方式转移至(i)，并且(k)转移要优于(j)，所以我们可以得到：

$dp[k]+a[i]*b[k+1]leq dp[j]+a[i]*b[j+1]$ 然后我们假设$a[i+1]=a[i]+v(vgeq0)$，那么就有： $dp[k]+a[i+1]*b[k+1]leq dp[j]+a[i+1]*b[j+1]$ $Longrightarrow$ $dp[k]+a[i]*b[k+1]+v*b[k+1]leq dp[j]+a[i]*b[j+1]+v*b[j+1]$ 而由于排序之后我们的$b$是递减的，所以$v*b[k+1]geq v*b[j+1]$，所以上面的不等式始终是成立的，这样就证明了这个决策是具有单调性的。 ###基于单调性的转移优化 我们将得到的决策单调性的式子展开，可以得到： $dp[k]+a[i]*b[k+1]leq dp[j]+a[i]*b[j+1]$ $a[i]*(b[j+1]-b[k+1])geq dp[k]-dp[j]$ $a[i]geq frac{dp[k]-dp[j]}{b[j+1]-b[k+1]}$ 于是我们记斜率为$slop(j,k)=frac{dp[k]-dp[j]}{b[j+1]-b[k+1]}$，如果这个值小于等于当前的$a[i]$，就说明$k$的决策比$j$的优。 这样这个东西就很适合单调队列了。对于一个单调队列，我们用$l$表示队首，$r$表示队尾，那么每次枚举到一个$i$的时候，我们就要进行两种更新了： 1.$slop(que[l],que[l+1])<=a[i]$时，说明$que[l]$没有$que[l+1]$更优，那么可以直接将$que[l]$弹出队列。 2.$slop(que[r],i)<=slop(que[r-1],que[r])$时，说明$que[r]$没有$que[r-1]$更优，因为如果当某一时刻枚举到$t$时刻，假设$slop(que[r-1],que[r])<=a[t]$，那么一定有$slop(que[r],i)<=a[t]$，所以$que[r]$相当于是没有用的，在这里就直接可以弹出队列了。 实际上，这上面两种操作实际上就是在进行维护凸包的的操作，所以斜率优化在某种意义上也是在维护上（下）凸包。 最后我们发现在经过上述操作之后，在单调队列队首的元素就是当前的最优转移，直接利用这个进行转移即可，这样转移的复杂度就是$O(1)$的，每个点都会被最多遍历到一次，所以总的复杂度为$O(n)$的。 ###例题AC代码

/**************************************************************
    Problem: 1597
    User: czl2333
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:168 ms
    Memory:5612 kb
****************************************************************/
 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
bool Finish_read;
template<class T>inline void read(T &x){Finish_read=0;x=0;int f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;if(ch==EOF)return;ch=getchar();}while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();x*=f;Finish_read=1;}
template<class T>inline void print(T x){if(x/10!=0)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
template<class T>inline void writeln(T x){if(x<0)putchar('-');x=abs(x);print(x);putchar('
');}
template<class T>inline void write(T x){if(x<0)putchar('-');x=abs(x);print(x);}
/*================Header Template==============*/
#define PAUSE printf("Press Enter key to continue..."); fgetc(stdin);
const int maxn=1e5+500;
int n,tot;
struct plot {
    ll a,b;
    bool operator < (const plot &rhs) const {
        return a!=rhs.a?a<rhs.a:b<rhs.b;
    }
}p[maxn],pp[maxn];
ll f[maxn];
int l,r;
int que[maxn];
/*==================Define Area================*/
double Cal(int x,int y) {
    return (double)(f[y]-f[x])/(double)(pp[x+1].b-pp[y+1].b);
}
 
int main() {
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        read(p[i].a);read(p[i].b);
    }
    sort(p+1,p+1+n);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        while(tot&&pp[tot].b<=p[i].b) tot--;
        pp[++tot]=p[i];
    }
    for(int i=1;i<=tot;i++) {
        while(l<r&&Cal(que[l],que[l+1])<pp[i].a) l++;
        int t=que[l];
        f[i]=f[t]+pp[i].a*pp[t+1].b;
        while(l<r&Cal(que[r],i)<Cal(que[r-1],que[r])) r--;
        que[++r]=i;
    }
    printf("%lld
",f[tot]);
    return 0;
}

练习题

BZOJ1096 仓库建设

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解题思路

很容易推出DP转移方程：

$dp[i]=min(dp[j]+cost(i,j))+c[i]$ 重点就是怎么快速的算出$cost(i,j)$。我们把$cost$的计算公式写出来： $cost(i,j)=sum_{k=j+1}^{i}p[k]*(x[i]-x[k])＝x[i]*sum_{k=j+1}^{i}p[k]-sum_{k=j+1}^{i}p[k]*x[k]$ 我们记$sum[i]$为$p[i]$的前缀和，$b[i]$为$p[i]*x[i]$的前缀和，那么DP转移就是： $dp[i]=min(dp[j]+x[i]*(sum[i)-sum[j])-(b[i])-b[j])+c[i]$ 于是我们就可以愉悦的用斜率优化来做这道题了，如果$k>j$并且$k$比$j$更优，那么： $dp[j]+x[i]*(sum[i)-sum[j])-(b[i])-b[j]geq dp[k]+x[i]*(sum[i)-sum[k])-(b[i])-b[k]$ 整理一下可得： $frac{dp[k]−dp[j]+b[k]−b[j]}{sum[k]−sum[j]}leq s[i]$ ####AC代码

/**************************************************************
    Problem: 1096
    User: czl2333
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:2032 ms
    Memory:52100 kb
****************************************************************/
 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
bool Finish_read;
template<class T>inline void read(T &x){Finish_read=0;x=0;int f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;if(ch==EOF)return;ch=getchar();}while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();x*=f;Finish_read=1;}
template<class T>inline void print(T x){if(x/10!=0)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
template<class T>inline void writeln(T x){if(x<0)putchar('-');x=abs(x);print(x);putchar('
');}
template<class T>inline void write(T x){if(x<0)putchar('-');x=abs(x);print(x);}
/*================Header Template==============*/
#define PAUSE printf("Press Enter key to continue..."); fgetc(stdin);
const int maxn=1e6+500;
int n;
ll dis[maxn],c[maxn],p[maxn],f[maxn],sum[maxn],b[maxn];
int l,r;
int que[maxn];
/*==================Define Area================*/
double Cal(int x,int y) {
    return (double)(f[y]-f[x]+b[y]-b[x])/(double)(sum[y]-sum[x]);
}
 
int main() {
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        read(dis[i]);read(p[i]);read(c[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        sum[i]=sum[i-1]+p[i];
        b[i]=b[i-1]+p[i]*dis[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        while(l<r&&Cal(que[l],que[l+1])<dis[i]) l++;
        int t=que[l];
        f[i]=f[t]-b[i]+b[t]+(sum[i]-sum[t])*dis[i]+c[i];
        while(l<r&&Cal(que[r-1],que[r])>Cal(que[r],i)) r--;
        que[++r]=i;
    }
    printf("%lld
",f[n]);
    return 0;
}

BZOJ1911 特别行动队

题目传送门

解题思路

还是同普通的DP一样，我们记(dp[i])为枚举到第(i)个士兵时，能够得到的最大战斗力是多少。同时我们记(sum[i])表示前(i)个士兵战斗力之和。那么转移方程就是(dp[i]=min(dp[j]+a*(sum[i]-sum[j])^2+b*(sum[i]-sum[j])+c))。如果(k>j)并且(k)比(j)更优，那么：
(dp[j]+a*(sum[i]-sum[j])^2+b*(sum[i]-sum[j])+cleq dp[j]+a*(sum[i]-sum[k])^2+b*(sum[i]-sum[k])+c)
整理之后得出：

$frac{f[k]-f[j]+a*(sum[k]-sum[j])^2-b*(sum[k]-sum[j])}{2*a*(sum[k]-sum[j])}leq sum[i]$ 然后就是套用斜率优化进DP了 ####AC代码

/**************************************************************
    Problem: 1911
    User: czl2333
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:1220 ms
    Memory:48180 kb
****************************************************************/
 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
bool Finish_read;
template<class T>inline void read(T &x){Finish_read=0;x=0;int f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;if(ch==EOF)return;ch=getchar();}while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();x*=f;Finish_read=1;}
template<class T>inline void print(T x){if(x/10!=0)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
template<class T>inline void writeln(T x){if(x<0)putchar('-');x=abs(x);print(x);putchar('
');}
template<class T>inline void write(T x){if(x<0)putchar('-');x=abs(x);print(x);}
/*================Header Template==============*/
#define PAUSE printf("Press Enter key to continue..."); fgetc(stdin);
const int maxn=2e6+500;
int n;
int a,b,c;
int x[maxn];
int l,r;
int que[maxn];
ll f[maxn],sum[maxn];
/*==================Define Area================*/
ll Sqr(ll x) {
    return x*x;
}
 
double Cal(int x,int y) {
    return (double)(f[y]-f[x]+a*(Sqr(sum[y])-Sqr(sum[x]))-b*(sum[y]-sum[x]))/(double)(2*a*(sum[y]-sum[x]));
}
 
int main() {
    read(n);
    read(a);read(b);read(c);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        read(x[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+x[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        while(l<r&&Cal(que[l],que[l+1])<sum[i]) l++;
        int t=que[l];
        f[i]=f[t]+a*Sqr(sum[i]-sum[t])+b*(sum[i]-sum[t])+c;
        while(l<r&&Cal(que[r-1],que[r])>Cal(que[r],i)) r--;
        que[++r]=i;
    }
    printf("%lld
",f[n]);
    return 0;
}