大臣的旅费
题目：
问题描述
很久以前，T王国空前繁荣。为了更好地管理国家，王国修建了大量的快速路，用于连接首都和王国内的各大城市。
为节省经费，T国的大臣们经过思考，制定了一套优秀的修建方案，使得任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达。同时，如果不重复经过大城市，从首都到达每个大城市的方案都是唯一的。
J是T国重要大臣，他巡查于各大城市之间，体察民情。所以，从一个城市马不停蹄地到另一个城市成了J最常做的事情。他有一个钱袋，用于存放往来城市间的路费。
聪明的J发现，如果不在某个城市停下来修整，在连续行进过程中，他所花的路费与他已走过的距离有关，在走第x千米到第x+1千米这一千米中（x是整数），他花费的路费是x+10这么多。也就是说走1千米花费11，走2千米要花费23。
J大臣想知道：他从某一个城市出发，中间不休息，到达另一个城市，所有可能花费的路费中最多是多少呢？
输入格式
输入的第一行包含一个整数n，表示包括首都在内的T王国的城市数
城市从1开始依次编号，1号城市为首都。
接下来n-1行，描述T国的高速路（T国的高速路一定是n-1条）
每行三个整数Pi, Qi, Di，表示城市Pi和城市Qi之间有一条高速路，长度为Di千米。
输出格式
输出一个整数，表示大臣J最多花费的路费是多少。
样例输入1
5
1 2 2
1 3 1
2 4 5
2 5 4
样例输出1
135
输出格式
大臣J从城市4到城市5要花费135的路费。
数据范围：
#### 题目没有明说，我就当n<=1E6了
先上一个不正确的思路：
我一看树，最值，马上开心地写了一发最喜欢的LCA:找一个度大于1的点当根节点, 求出到根节点距离最远的两个点，然后认为这两个点的距离就是答案(显然有问题)
50分的代码 & 我好久没写过的LCA
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e6+100;
int a[maxn];
int deep[maxn*2];
int first[maxn];
int father[maxn];
int degree[maxn];
struct Node{
int to;
long long d;
int Next;
}node[maxn];
int tot;
int head[maxn];
void addEdge(int from,int to,long long d)
{
node[tot].to = to;
node[tot].d = d;
node[tot].Next = head[from];
head[from] = tot++;
}
void initEdge()
{
tot = 0;
memset(head,-1,sizeof(head));
}
bool vis[maxn];
int record[maxn*2];
long long disToRoot[maxn*2];
int cnt;
void dfs(int x,int dep,long long disxto1)
{
record[++cnt] = x;
deep[cnt] = dep;
disToRoot[x] = disxto1;
// if(vis[x]) return;
first[x] = cnt;
for(int i=head[x];i!=-1;i=node[i].Next)
{
int to = node[i].to;
if(vis[to]) continue;
vis[x] = true;
father[to] = x;
dfs(to,dep+1,disxto1+node[i].d);
record[++cnt] = x;
deep[cnt] = dep;
}
}
int ST[maxn][20];
void RMQ(int m)
{
int n = 2*m-1;
for(int i=1;i<=n;++i)
ST[i][0] = i;
for(int j=1;(1<<j)<=n;++j)
{
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;++i)
{
int a = ST[i][j-1], b = ST[i+(1<<(j-1))][j-1];
ST[i][j] = deep[a]>deep[b]?b:a;
}
}
}
int query(int xx,int yy) ///query the LCA of x and y`
{
int x = first[xx],y=first[yy];
if(x>y) swap(x,y);
int j = 0;
while((1<<j)<=y-x+1) ++j;
--j;
int a = ST[x][j], b = ST[y-(1<<j)+1][j];
int id = deep[a]>deep[b]?b:a;
return record[id];
}
int main()
{
int n,x,y;
long long d;
int ca = 0;
while(cin>>n)
{
if(ca++)
{
memset(degree,0,sizeof(degree));
memset(vis,false,sizeof(vis));
}
initEdge();
long long sum = 0;
for(int i=1;i<n;++i)
{
scanf("%d%d%lld",&x,&y,&d);
sum += d;
addEdge(x,y,d);
addEdge(y,x,d);
++degree[x],++degree[y];
}
int root = 0;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
if(degree[i]>1)
{
root = i;break;
}
}
if(root==0)
{
printf("%lld
",(sum+21)*sum/2);
continue;
}
father[root] = root;
vis[root] = true;
dfs(root,1,0);
RMQ(n);
int x1 = 1;
for(int i=2;i<=n;++i)
{
if(disToRoot[i]>disToRoot[x1]) x1 = i;
}
int x2 = 0;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
if(i==x1) continue;
if(disToRoot[i]>disToRoot[x2]) x2 = i;
}
int lca = query(x1,x2);
long long totDis = disToRoot[x1]+disToRoot[x2]-disToRoot[lca]*2;
long long ans = (totDis+21)*totDis/2;
printf("%lld
",ans);
}
return 0;
}
这个问题其实叫做求：树的直径
结论：从书上的任意一点出发，距离这个点最远的节点一定在最长路径上
用反证法即可证明
我百度到这个结论，觉得很巧妙，而且不难理解，如果最远的节点不在最长路径上，那么最长路径必然不是最长的…
所以从任意一点出发，dfs遍历这棵树，找到离这个点最远的一个点x，那么这个点一定是最长路径的一个端点，再从x做一次dfs即可，具体实现见代码
//姓名 试题名称 提交时间 代码长度 语言 评测结果 评分 CPU使用 内存使用
//许智超 大臣的旅费 11-15 16:48 1.242KB C++ 正确 100 15ms 43.93MB
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn =1e6+100;
int tot;
struct Node{
int to,Next;
long long d;
}node[maxn*2];
int head[maxn];
bool vis[maxn];
long long Dis[maxn];
void initEdge()
{
tot = 0;
memset(head,-1,sizeof(head));
}
void addedge(int from,int to,long long d)
{
node[tot].to = to;
node[tot].d = d;
node[tot].Next = head[from];
head[from] = tot++;
}
long long MaxDis;
int farest;
void dfs(int x,long long d)
{
vis[x] = true;
Dis[x] = d;
if(d>MaxDis) MaxDis = d, farest = x;
for(int i=head[x];i!=-1;i=node[i].Next)
{
int to = node[i].to;
if(vis[to]) continue;
dfs(to,d+node[i].d);
}
}
int main()
{
/// random chose a point A, the point which is farest from A will be one the longest rath
int n,x,y;
long long d;
while(cin>>n)
{
initEdge();
for(int i=1;i<n;++i)
{
scanf("%d%d%lld",&x,&y,&d);
addedge(x,y,d);
addedge(y,x,d);
}
memset(vis,false,sizeof(vis));
MaxDis = 0;
farest = 0;
dfs(1,0);
int one = farest;
memset(vis,false,sizeof(vis));
dfs(one,0);
printf("%lld
",(MaxDis+21)*MaxDis/2);
}
return 0;
}