Part1:矩阵的定义
设(n imes m)个数排成的数表
[egin{matrix}
a_{11}&a_{12}&dots&a_{1n}\
a_{21}&a_{22}&dots&a_{2n}\
vdots&vdots&ddots&vdots\
a_{m1}&a_{m2}&dots&a_{mn}
end{matrix}
]
记
[A_{n imes m}=egin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&dots&a_{1n}\
a_{21}&a_{22}&dots&a_{2n}\
vdots&vdots&ddots&vdots\
a_{m1}&a_{m2}&dots&a_{mn}
end{bmatrix}
]
称为一个(n)行(m)列(或(n imes m))的矩阵(matrix),记作
[A_{n imes m}=(a_{ij})_{n imes m}
]
其中 (a_{ij}) 称为矩阵的元素,(i)称为行,(j)称为列.称两个矩阵相等,当且仅当两个矩阵行数,列数都相等,且对应元素相等,即
[A_{n_1 imes m_1}=B_{n_2 imes m_2}Leftrightarrow n_1=n_2,m_1=m_2,forall 1le ile n,1le jle m,a_{ij}=b_{ij}.
]
若两个矩阵的行数,列数相等,则称两个矩阵是同型的.显然,两个矩阵相等的必要条件是两个矩阵同型.若一个矩阵的行和列相等,则称之为(n)阶方阵(square matrix),可简记为
[A_{n imes n}=A_n
]
特别地,记
[O_{n imes m}=(0)_{n imes m}
]
为(n imes m)的零矩阵(null matrix),记
[I_n=egin{bmatrix}
1&0&dots&0\
0&1&dots&0\
vdots&vdots&ddots&vdots\
0&0&dots&1
end{bmatrix}
]
称为(n imes n)(或(n)阶)单位矩阵(identity matrix).
形如
[x=(x_1,x_2,dots,x_n)
]
的矩阵称为(n)行向量(row vector),而形如
[x=egin{bmatrix}
x_1\
x_2\
vdots\
x_n
end{bmatrix}
]
的矩阵称为(n)列向量(column vector).
Part2:矩阵的线性运算
记
[A_{n imes m}+B_{n imes m}=(a_{ij}+b_{ij})_{n imes m} riangleq C_{n imes m}
]
(C_{n imes m})称为两个矩阵的和.两个同型矩阵才能求和.矩阵的加法满足结合律和交换律.
记
[A_{n imes m}-B_{n imes m}=(a_{ij}-b_{ij})_{n imes m} riangleq C_{n imes m}
]
(C_{n imes m})称为两个矩阵的差.
记
[lambda A_{n imes m}=(lambda a_{ij})_{n imes m}
]
(lambda A_{n imes m})称为矩阵(A)与(lambda)的数乘.
记
[A^{mathrm{T}}=(a_{ji})_{m imes n}
]
(A^{mathrm{T}})称为矩阵(A)的转置(transpose).
Part3:矩阵乘法
定义
[A_{n imes m} imes B_{m imes p}=A_{n imes m}B_{m imes p}=C_{n imes p}
]
其中
[c_{ij}=sum_{k=1}^ma_{ik}b_{kj}
]
称为两个矩阵的乘法.两个矩阵可以相乘,当且仅当第一个矩阵的行数等于第二个矩阵的列数.
矩阵的乘法满足结合律,但绝不满足交换律.
比如,对于
[A=egin{bmatrix}
1&0&2\
-1&3&1
end{bmatrix},
B=egin{bmatrix}
3&1\
2&1\
1&0
end{bmatrix},\
A imes B=egin{bmatrix}
(1 imes 3+0 imes2+2 imes 1)&(1 imes 1+0 imes 1+2 imes 0)\
((-1) imes 3+3 imes 2+1 imes1)&((-1) imes 1+3 imes 1+1 imes 0)
end{bmatrix}=
egin{bmatrix}
5&1\
4&2
end{bmatrix}
]
对于两个行向量(x=(x_1,x_2,dots,x_n),y=(y_1,y_2,dots,y_n)),定义(x,y)的内积(inner product)为
[[x,y]=x^{mathrm T}y=sum_{i=1}^n x_iy_i
]
而方阵(Z=xy^{mathrm T})称为(x,y)的外积(cross product),并有(z_{ij}=x_iy_j).
定义向量(x)的长度(length)或范数(norm)为
[parallel xparallel =sqrt{[x,x]}=sqrt(x_1^2+x_2^2+dots+x_n^2)
]
范数是正定的,对于任何非零向量(x),都有(parallel xparallel>0).
Part4:方阵的行列式和逆
一个方阵(A_n=(a_{ij})_{n imes n})的行列式为
[|A|=det_n(a_{ij})
]
若对于一个方阵(A_n),存在一个方阵(B_n),使得
[AB=BA=I_n
]
则称(A)是可逆的(reversible),(B)称为(A)的逆矩阵(inverse matrix),记为(B=A^{-1}).对于矩阵的逆,有以下性质:
(1.)矩阵的逆是惟一的.
(2.)逆矩阵的逆矩阵是矩阵本身.即,((A^{-1})^{-1}=A).
(3.)可逆矩阵的转置也可逆,且((A^{mathrm{T}})^{-1}=(A^{mathrm{T}})^{-1}).
(4.)若矩阵可逆,则其满足消去律.即若(A)可逆,则(AB=ORightarrow B=O),(AB=ACRightarrow B=C).
(5.)设(A_1,A_2,dots,A_n)都可逆,则
[(prod_{i=1}^n A_i)^{-1}=prod_{i=1}^n A_{n-i+1}^{-1}
]
特别地,有
[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
]
伴随矩阵
定义,
[A^{*}_{n imes m}=(A_{ij})_{n imes m}
]
其中(A_{ij})表示(|A|)中元素(a_{ij})的代数余子式,称(A^{*})为(A)的伴随矩阵(adjugate matrix).一般地,一个矩阵(A)可逆的充要条件是其行列式(|A|
e 0),此时,
[A^{-1}=frac1{|A|}A^{*}
]
这就是矩阵的求逆公式.
Part5:Gauss消元求逆
对于一个矩阵(A),用Gauss消元法求矩阵的逆的方法如下:
(1.)在(A)的右边添加一个(n)阶单位矩阵,记为([A,I]),该矩阵为(n imes (2n))的;
(2.)进行Gauss消元,直到([A,I])变为形如([I,B])的形式,即左边是一个(n)阶单位矩阵,右边是一个矩阵(B),则(B)就是(A)的逆.
栗子:
如,我们有方阵
[A=egin{bmatrix}
1&1&1\
1&1&2\
1&2&3
end{bmatrix}
]
我们先在其右侧补上一个单位矩阵(I),则有
[[A,I]=egin{bmatrix}
1&1&1&1&0&0\
1&1&1&0&1&0\
1&2&3&0&0&1
end{bmatrix}
]
在对这个矩阵进行Gauss消元,则有
[[A,I]=egin{bmatrix}
1&1&1&1&0&0\
1&1&1&0&1&0\
1&2&3&0&0&1
end{bmatrix}
ightarrow egin{bmatrix}
1&0&0&1&1&-1\
0&1&0&1&-2&1\
0&0&1&-1&1&0
end{bmatrix}=[I,A^{-1}]
]
所以(A)的逆矩阵为
[A^{-1}=egin{bmatrix}
1&1&-1\
1&-2&1\
-1&1&0
end{bmatrix}
]
Part6:矩阵的正定性
若某个(n imes n)的方阵(A),对于任意的(n)非零行向量(x),都有(x^{mathrm{T}}Ax>0),则称(A)是正定的(positive definite).例如,单位矩阵(I)是正定的,因为对于任何的非零向量(x=(x_1,x_2,dots,x_n)),都有
[x^mathrm{T}Ix=x^mathrm{T}x=sum_{i=1}^n x_i^2>0
]
一般地,对于任何可逆方阵(A),(A^{mathrm T}A)都是正定的.因为对于任意非零向量(x),都有
[x^mathrm{T}(A^{mathrm T}A)x=(Ax)^{mathrm T}(Ax)=parallel Axparallel>0
]
这是因为由于(|A|
e 0),所以(Ax=0)当且仅当(x=0).