Part1:几种特殊的行列式
(1.)上三角行列式:
[D=egin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&dots&a_{1n}\
0&a_{22}&dots&a_{2n}\
vdots&vdots&ddots&vdots\
0&0&dots&a_{nn}
end{vmatrix}
]
称为上三角行列式,即主对角线下均为(0)的行列式,其值等于
[D=prod_{i=1}^n a_{ii}
]
即主对角线上元素的乘积.
(2.)下三角行列式:
[D=egin{vmatrix}
a_{11}&0&dots&0\
a_{21}&a_{22}&dots&0\
vdots&vdots&ddots&vdots\
a_{n1}&a_{n2}&dots&a_{nn}
end{vmatrix}
]
称为下三角行列式,即主对角线上均为(0)的行列式,其值等于
[D=prod_{i=1}^n a_{ii}
]
与上三角行列式相等.
(3.)次对角线行列式:
[D=egin{vmatrix}
0&dots&0&a_{1n}\
0&dots&a_{2(n-1)}&a_{2n}\
vdots&ddots&vdots&vdots\
a_{n1}&dots&a_{n(n-1)}&a_{nn}
end{vmatrix}=egin{vmatrix}
a_{11}&dots&a_{1(n-1)}&a_{1n}\
0&dots&a_{2(n-1)}&a_{2n}\
vdots&ddots&vdots&vdots\
0&dots&0&a_{nn}
end{vmatrix}
]
称为次对角线行列式,其值都等于
[D=(-1)^{frac{n(n-1)}2}prod_{i=1}^n a_{ii}
]
(4.)范德蒙德行列式:
[D=egin{vmatrix}
1&1&dots&1\
a_1&a_2&dots&a_n\
vdots&vdots&ddots&vdots\
a_1^n&a_2^n&dots&a_n^n
end{vmatrix}=
egin{vmatrix}
1&a_1&dots&a_1^n\
1&a_2&dots&a_2^n\
vdots&vdots&ddots&vdots\
1&a_n&dots&a_n^n
end{vmatrix}
]
称为范德蒙德(Vandermonde)行列式,其值等于:
[D=prod_{1le j<ile n}(a_i-a_j)
]
范氏行列式的一个重要运用就是多项式中的Lagrange插值公式.
Part2:行列式的性质
(1.)行列式等于它的转置.所谓转置是指,
[D^T=det (a_{ji})=egin{vmatrix}
a_{11}&a_{21}&dots&a_{n1}\
a_{12}&a_{22}&dots&a_{n2}\
vdots&vdots&ddots&vdots\
a_{1n}&a_{2n}&dots&a_{nn}
end{vmatrix}=D.
]
(2.)交换行列式的不相等的两行(列),行列式变号.我们把交换第(i,j(i
e j))行(列)的操作记作(r_ileftrightarrow r_j)((c_ileftrightarrow c_j)).
(3.)将行列式的一行(列)乘以(k),整个行列式乘以(k).我们把将第(i)行(列)乘以(k)的操作记作(r_i imes k)((c_i imes k)).
推论1: 行列式的一行全为(0),行列式等于(0).
推论2: 行列式某一行的公因子可以提到行列式外面.
(4.)把行列式的某行(列)元素的(k)倍,加到行列式的另一行(列)上,行列式不变.我们把将第(i)行(列)的(k)倍加到第(j(i
e j))行(列)的操作记作(r_j+r_i imes k)((c_j+c_i imes k)).
推论3: 行列式的两行对应成比例,行列式等于(0).
上面的(2,3,4)性质称为行列式的行变换性质.
(5.)行列式的某行(列)的每个元素可以表示成两数的和,则行列式等于两个加数对应的替换该行(列)的行列式之和.如,设
[D=egin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&dots&a_{1n}\
a_{21}&a_{22}&dots&a_{nn}\
vdots&vdots&ddots&vdots\
b_{i1}+c_{i1}&b_{i2}+c_{i2}&dots&b_{in}+c_{in}\
vdots&vdots&ddots&vdots\
a_{n1}&a_{n2}&dots&a_{nn}
end{vmatrix}
=egin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&dots&a_{1n}\
a_{21}&a_{22}&dots&a_{nn}\
vdots&vdots&ddots&vdots\
b_{i1}&b_{i2}&dots&b_{in}\
vdots&vdots&ddots&vdots\
a_{n1}&a_{n2}&dots&a_{nn}
end{vmatrix}
+
egin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&dots&a_{1n}\
a_{21}&a_{22}&dots&a_{nn}\
vdots&vdots&ddots&vdots\
c_{i1}&c_{i2}&dots&c_{in}\
vdots&vdots&ddots&vdots\
a_{n1}&a_{n2}&dots&a_{nn}
end{vmatrix}
]
有了这些性质(主要是性质(4)),我们就可以把行列式转化为已知的行列式类型(大多数为三角行列式),快速求值.这种方法的本质是Gauss消元(Gaussian elimination).
Part3:Gauss消元求行列式
栗子:求
[D=egin{vmatrix}
2&-1&3\
4&2&5\
2&0&2
end{vmatrix}
]
解:
[egin{align}
D&{xlongequal{r_2+r_1 imes -2}}
egin{vmatrix}
2&-1&3\
0&4&-1\
2&0&2
end{vmatrix}\
&{xlongequal{r_3+r_1 imes (-1)}}
egin{vmatrix}
2&-1&3\
0&4&-1\
0&1&-1
end{vmatrix}\
&{xlongequal{r_2leftrightarrow r_3}}-
egin{vmatrix}
2&-1&3\
0&1&-1\
0&4&-1
end{vmatrix}\
&{xlongequal{r_3+r_2 imes (-4)}}-
egin{vmatrix}
2&-1&3\
0&1&-1\
0&0&3
end{vmatrix}\
&=-(2 imes1 imes3)=-6.
end{align}
]
Gauss消元算法是(O(n^3))的.运用熟练之后,是非常快的行列式求值方法.
本文完