级数初步

写在前面：

　　高考复习笔记

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目录

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• 定义

• 历史

• 常见类型

1. 有穷数列、无穷数列

2. 递增数列、递减数列、摆动数列

3. 周期数列

4. 常数列

5. 等差数列、等比数列

• 典型数列

1. 斐波那契数列

2. 卡特兰数

3. 杨辉三角

• 其他

1. 常用数列求和解题方法

2. 证明数列不等式的常用方法

定义

　　级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数

　　典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等

——bia度百科

 

　　数列，是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用a_n表示

　　著名的数列有斐波那契数列，卡特兰数，杨辉三角等

——bia度百科

历史

　　数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《周髀算经》里谈到：“在周城的平地立八尺高的周髀（即表竿），日中测影，在二十四节气中，冬至影长1丈3尺5寸，以后每一节气递减9寸55/6分；夏至影最短，仅长1尺6寸，以后每一节气又递增9寸55/6分”。这是等差数列的概念。《易传·系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”。这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载。我国古代还给出了一个无穷递缩等比数列，记载在《庄子·天下篇》中：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”而《九章算术》“衰分”一章，主要讲的就是分配比例及等差、等比数列等问题

　　在外国数学发展的早期也有许多人研究过数列这一课题。例如，在古巴比伦晚期的泥版文书中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子， 兄长最多，以此减少相同数目。现知第八兄弟分得6两，问相邻两兄弟相差多少？又如，在古埃及《阿美斯纸草书》上画有一图，在7、49、343、2401、16807数字边分别画着人、猫、鼠、大麦和量器。只有画作，却没有任何文字说明，因此成了一道流传的数谜。后人解出了这道数谜，认为图案要表达的意思是说：有7个人，每人畜养7只猫，每只猫捕食7只老鼠，而每只老鼠先前偷食了7株麦穗，每株麦穗能装满7个量杯......这可算是最早的等比数列了

——http://www.360doc.com/content/16/0720/10/26166517_576971392.shtml

常见类型

　　有穷数列、无穷数列

　　　　项数有限的数列为“有穷数列”；项数无限的数列为“无穷数列”

　　递增数列、递减数列、摆动数列

　　　　从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列

　　　　从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列

　　　　从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列（摇摆数列）

　　周期数列

　　　　各项呈周期性变化的数列叫做周期数列

　　常数列

　　　　各项相等的数列叫做常数数列

　　等差数列、等比数列

　　　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示

　　　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence），这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示

典型数列

　　斐波那契数列

　　斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家Fibonacci以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”

　　在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：

F(1)=1，F(2)=1，F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）

矩阵乘法得第n项C++：

#include<bits/stdc++.h>
#define re register

typedef long long int ll;
using namespace std;

int const MOD=100007;
int n;
struct MART{ll mart[2][2];}base;

MART mul(MART a,MART b)
{
    MART ans;
    memset(ans.mart,0,sizeof(ans.mart));
    for(re int i=0;i<=1;++i)
        for(re int j=0;j<=1;++j)
            for(re int k=0;k<=1;++k)
            {
                ans.mart[i][j]+=a.mart[i][k]*b.mart[k][j];
                ans.mart[i][j]%=MOD;
            }
                
    return ans;
}

MART martxmul(int k)
{
    MART ans;
    ans.mart[0][0]=2;ans.mart[0][1]=1;
    ans.mart[1][0]=1;ans.mart[1][1]=1;
    while(k){
        if(k&1) ans=mul(ans,base);
        k>>=1;
        base=mul(base,base);
    }
    return ans;
}

int main(int arg,char *argv[],char *enc[])
{
    base.mart[0][0]=1;base.mart[0][1]=1;
    base.mart[1][0]=1;base.mart[1][1]=0;
    
    scanf("%d",&n);
    
    printf("%d",martxmul(n-3).mart[0][0]);
    
    return 0;
}

　　卡特兰数

　　　　卡特兰数又称卡塔兰数（Catalan number），是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列，以比利时的数学家Catalan的名字来命名

　　　　卡特兰数C_n满足以下递推关系：

卡特兰数解决出入栈方案数问题C++：

#include<bits/stdc++.h>
#define re register

typedef long long int ll;
using namespace std;

const int MAXN=10010;
ll h[MAXN],n;

/*
h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)h(0)
(n>=2)
*/
int main(int arg,char *argv[],char *enc[]){
    scanf("%lld",&n);
    h[0]=1;h[1]=1;
    for(re ll i=2;i<=n;i++)
        for(re ll j=0;j<=i-1;j++)
            h[i]+=h[j]*h[i-j-1];
    for(re ll i=0;i<=n;i++)
        printf("h[%lld]        %lld
",i,h[i]);
    return 0;
}
/*
首先，我们设h(n)=序列个数为n的出栈序列种数
(栈直到整个过程结束时才空)
*/

　　杨辉三角

　　　　杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列

　　　　在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，书中载有“开方作法本源”图，注明“贾宪用此术”。而在欧洲，Pascal在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做Pascal三角形

输出杨辉三角图形前n行C++：

#include<bits/stdc++.h>
#define re register

using namespace std;

const int maxn=15,m=2*maxn-1;
int n,tmp;
int arr[maxn+1][m]={0};

int main(int arg,char *argv[],char *enc[]){
    scanf("%d",&n);
    for(re int i=0;i<n;++i){
        arr[i][n-i-1]=1;
        arr[i][n+i-1]=1;
 
    }
    for(re int i=2;i<n;++i)
        for(re int j=n-i+1;j<n-2+i;j=j+2)
            arr[i][j]=arr[i-1][j-1]+arr[i-1][j+1];
    for(re int i=0;i<n;++i){
        //for(re int j=0;j<n-i-1;++j) cout << "    ";
        tmp=1;
        for(re int j=n-i-1;tmp<i+2;j=j+2){
            cout << setw(4) << arr[i][j] << "    ";
            ++tmp;
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

其他

　　常用数列求和解题方法

　　　　公式求和法

 　　　　错位相减法

　　　　　　求数列和的前n项和，数列，分别为等差与等比数列。求和时在求式的两边承以公比后，与原数列的和作差，即，然后求即可

　　　　倒序相加法

　　　　　　将数列反序，再把正序与倒序对应项相加，使相加后的数列为一个简单数列，化繁为简，化未知为已知

　　　　分组求和法

　　　　　　其通项是几项等差数列、等比数列或易求和数列通项的和（差）式。若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比、常见易求和的数列，然后通过重新组合的方法，使其转化为几个等差数列、等比数列，或转化为易求和数列的前n项求和，再将其合并，即可求出原数列的前n项和

　　　　裂项相消法

　　　　　　如果一个数列的通项能拆成两项之差，即的每一项都可按此法化为某两项之差，然后重新组合，在求和时可以将一些正负项相互抵消，采用对消的方法求出到求和的目的

　　　　累加法

　　　　　　先引进一个恒等式，再通过把几个等式累加，可达到目的。一般引用的恒等式比数列通项高一次方，且是两个连续自然数的一定次方的差，列出含有通项的几个恒等式，通过迭加消去中间某些项，最后求得和式的一种方法

　　　　合并求和法

　　　　　　有些数列可以根据数列的特点，合理合并，从而简化运算。对一些特殊的数列，若将相邻两项或某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，或呈现出一定的规律，则在数列求和时，可考虑把这些项放在一起先配对（并项）求和，得到一个新的容易求和的数列，然后再求和

——https://wenku.baidu.com/view/511c9b0ea8956bec0875e337.html

　　证明数列不等式的方法

　　　　先放缩再求和

　　　　　　1放缩后成等差数列

　　　　　　2放缩后成等比数列

　　　　　　3放缩后成差比数列

　　　　　　4放缩后为裂项相消

　　　　先求和再放缩

 

——https://wenku.baidu.com/view/30a6a93fcc7931b764ce1508.html