快速幂

写在前面：

　　记录了个人的学习过程，同时方便复习

• 快速幂

　　在求解同余方程时，常常会遇到a^b%c的问题

　　显然，对a^b的计算耗费空间很大，甚至会数据溢出

　　但是根据模运算的分配律，就可以对这个步骤进行简化

(在[◹]对算术基本定理的研究中提到过)

　　先引入小学学习的一种方法：a^b == a*a*a*...*a  (b个a连乘)

　　那么a^b%c

　　== (a*a*a*...*a)%c  (b个a连乘)

　　== (a%c*a%c*a%c*...*a%c)%c  (b个a%c连乘)

　　== {[(a%c*a%c*a%c*...*a%c)%c(b/2个a%c连乘) * (a%c*a%c*a%c*...*a%c)%c(b/2个a%c连乘)]%c * (b/2) * (a%c)}%c

　　== {[(a%c)²%c]*[(a%c)²%c]*...*[(a%c)²%c]%c(b/2个(a%c)²连乘) * (b/2) * (a%c)}%c

　　== ...

　　这样不断地消去b，对a^b的过程量取模，就又保证了数据不溢出

　　从二进制的角度看更好理解

　　就是从小到大对这个数对应的二进制位逐个乘上，然后在步骤之间取模

注：b&1即b%2==1，b>>=1即1b/=2

　　代码：

C++：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int x,y,z;

int Pony_FE(int a,int b,int c)
{
    int ans=1;
    a%=c;
    while(b!=0)
    {
        if(b&1) ans=(ans*a)%c;
        b>>=1;
        a=(a*a)%c;
    }
    return ans;
}

int main(int argc,char *argv[],char *enc[])
{
    scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
    printf("%d
",Pony_FE(x,y,z));
    
    return 0;
}

Java：

import java.io.*;
import java.util.*;

class pony{

    static int x,y,z;

    static int Pony_FE(int a,int b,int c)
    {
        int ans=1;
        a%=c;
        while(b!=0)
        {
            if(b%2==1) ans=(ans*a)%c;
            b>>=1;
            a=(a*a)%c;
        }
        return ans;
    }

    public static void main(String[] args) throws Exception {
        
        Scanner cin=new Scanner(System.in);
        
        x=cin.nextInt();
        y=cin.nextInt();
        z=cin.nextInt();

        System.out.println(Pony_FE(x,y,z));
    }
}

　　当然还有递归写法的

C++：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int x,y,z;

int Pony_FE(int a,int b,int c)
{
    if(!b) return 1;
    int res=Pony_FE(a,b/2,c);
    res=(res*res)%c;
    if(b&1) res=(res*a)%c;
    return res;
}

int main(int argc,char *argv[],char *enc[])
{
    scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
    printf("%d
",Pony_FE(x,y,z));
    
    return 0;
}

Java：

import java.io.*;
import java.util.*;

class pony{

    static int x,y,z;

    static int Pony_FE(int a,int b,int c)
    {
        if(b==0) return 1;
        int res=Pony_FE(a,b/2,c);
        res=(res*res)%c;
        if(b%2==1) res=(res*a)%c;
        return res;
    }

    public static void main(String[] args) throws Exception {
        
        Scanner cin=new Scanner(System.in);
        
        x=cin.nextInt();
        y=cin.nextInt();
        z=cin.nextInt();

        System.out.println(Pony_FE(x,y,z));
    }
}