$$\large{第二章：函数极限}$$
1.关于函数极限的定义：\(\lim\limits_{x\rightarrow{x_0}}f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\)当\(0<|x-x_0|<\delta\)时，恒有\(|f(x)-A|<\varepsilon\)
2.连续与间断点的定义：
第一类间断点：可去、跳跃
第二类间断点：振荡、无穷
3.等式脱帽法:
例题3.1 已知极限\(\lim\limits_{x\rightarrow{0}}\frac{\tan{2x}+xf(x)}{\sin{x^3}}=0\)，则\(\lim\limits_{x\rightarrow{0}}\frac{2+f(x)}{x^2}=\)_____(张宇30讲p46 例3.16)
4.极限的唯一性:
例题4.1 当\(x\to1\)时，函数\(\frac{x^2-1}{x-1}e^{\frac{1}{x-1}}的极限\)( )(张宇30讲p42例3.2)
A.等于1 B.等于0 C.为\(\infty\) D.不存在且不为\(\infty\)
例题4.2 已知\(\lim\limits_{x\rightarrow0}[k*\arctan{\frac{1}{x}}]+\frac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}]\)存在,求极限I=__，k=____(张宇30讲p42)
5.七种未定式的计算类型一: \(\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty\)
例题5.1 求极限\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\frac{\sqrt{x}}{x-e^{2\sqrt{x}}+1}\)的值(张宇30讲P43例3.4)
例题5.2 求极限\(\lim\limits_{x\to1^-}\ln{x}\ln(1-x)=\)______(张宇30讲P44例3.8)
例题5.3 求\(I=\lim\limits_{x\to0}x[\frac{10}{x}]\)的值,其中[*]为取整符号(张宇30讲P44例3.10)
6.七种未定式的计算类型二: \(\infty-\infty\)
例题6.1 求极限\(\lim\limits_{x\to0}[\frac{1}{ln(1+x)}-\frac{1}{x}]\)的值(张宇30讲p45 例3.11)
例题6.2 求极限\(\lim\limits_{x\to\infty}[x^2(e^\frac{1}{x}-1)-x]\)的值(张宇30讲p45 例3.12)
例题6.3 设\(f(x)=\frac{1}{\pi{x}}+\frac{1}{\sin{\pi{x}}}-\frac{1}{\pi{(1-x)}},x\in[\frac{1}{2},1)试补充定义f(1),使得f(x)在[\frac{1}{2},1]上连续\)(复习全书p43例6)
7.七种未定式的计算类型三: \(\infty^0,0^0,1^\infty\)
例题7.1 求极限\(\lim\limits_{x\to+\infty}(x+\sqrt{1+x^2})^\frac{1}{x}\).(张宇30讲p45 例3.13)
例题7.2 求极限\(\lim\limits_{x\to0}(\frac{e^x+e^{2x}+e^{3x}}{3})^\frac{e}{x}\).(张宇30讲p45 例3.14)
例题7.3 求极限\(\lim\limits_{x\to\infty}{(n\tan\frac{1}{n})^n}^2\)(n为正整数).(归结原则,张宇30讲p45 例3.15)
8.无穷小比阶
例题8.1 设\(x\to0\)时，\(e^{\tan{x}}-e^x与x^n\)是同阶无穷小，则n的值为？(张宇30讲p48 例3.19)