浅谈压缩感知（三）：几何解释

主要内容：

1. 信号的稀疏表示模型
2. 压缩测量
3. RIP性质
4. 恢复重建

   1. 一、信号的稀疏表示模型

      信号在某个空间是非稀疏的，如果变换到某个空间，即可变成稀疏的。

      稀疏信号表示有极少的非零系数。

      如下图，左边表示X信号在R3空间中只有一个非0系数，右边表示X信号在R3空间只有两个非0系数。

      

      如果信号是稀疏的，那么就没必要采集那些在空间系数为0的值。相反，只采集少量的非零系数，而允许一点不确定性。

      然后通过稀疏模型来重建信号，并解决不确定性的问题。

   2. 二、压缩测量

      压缩测量：即将稀疏信号（K-Sparse）从N维空间通过线性投影到M维空间当中。M<<N

      过程：Y=Φ*X

      Y即线性投影后的测量值；

      Φ即测量矩阵；

      X 即信号；

      

      测量矩阵需满足的性质：

      必要性：必须有2*K行

      有效性：2*K行的高斯随机矩阵

      

      测量过程：从信号x到测量值y的线性投影过程

      N维空间到M维空间映射的几何模型：

      

      举个简单的小例子，来说明测量矩阵的选择问题：

      

      此处的测量矩阵应该如何选择呢？考虑以下几种情况：

      

      

      上述的矩阵过于简单，但主要说明的问题就是：测量矩阵所在的空间基向量与信号的稀疏基向量必须满足一定的不相关性。

      下面介绍测量矩阵理论上需要满足的性质：

   3. 三、RIP性质

      Restricted Isometry Property（aka UUP）

      对于K-sparse 信号x，如果测量矩阵满足以下关系，则称测量矩阵满足K阶RIP性质。

      

      对于K-sparse x1和x2信号而言，测量矩阵满足2K阶RIP性质则意味着：

      

      

      关于上面这些公式，我也不明白其中的含义。

      在实际中呢，我们也不可能通过上面的公式去验证测量矩阵的有效性，上面的公式只是提供了一个理论支撑而已。

      实践证明，下面的一些随机矩阵在满足的情况下，可以以很大的概率来满足测量的需求：

      

   4. 四、恢复重建信号的几何模型

      L0模型：

      信号的稀疏性对应的就是非零系数的最小化，因此通过L0来建模是可行的，

      但L0建立的数学模型是不可微的，不能用梯度法，因此一般采用贪心的方法来求解。

      

      L2模型：

      L2范式建立的数学模型求解出来的恢复信号并不是稀疏的，而是很多小分量。因此，在压缩感知中，不太适合用来建模。

      

      L1模型：

      数学家们已经证明，在某种程度上，L1模型等价于L0模型。

      

      L1模型与L0模型的等价性证明：