（算法）最长递增子序列

问题：

Given an array of N integer, find the length of the longest increasing subsequence.

For example, given [1,-5,4,5,10,-1,-5,7], the longest increasing subsequence is length 4.(1,4,510)

思路：

1、枚举

枚举数组所有的子序列，然后判断它们是否为递增子序列（回溯法）。

2、转化

将数组排序，然后找出新数组和旧数组的最长公共子序列LCS。

（关于最长公共子序列，参考：http://www.cnblogs.com/AndyJee/p/4469196.html）

3、动态规划

假设数组为A,len[i] 表示以第 i 个元素为结尾（即第i个元素为最大）的最长递增子序列的长度；

求len[i]，可以先求以前面i-1个元素结尾的最长递增子序列，如果A[i]比前面A[0...i-1]中某个元素k小，那么就可以在相应的len[k]上加1，当然是最大的len[k]；

详见http://blog.csdn.net/kenby/article/details/6804720

4、优化

上述方法在求len[i]的时候， 要从a[1], ... a[i-1]中找出所有比 a[i] 小的元素，而a[1], ... a[i-1]是无序的，查找速度比较慢。

引出数组 f[k] 表示长度等于k的递增子序列中最末尾的元素, 长度越长的序列，其末尾元素也越大，所以f[k]是递增的。

实例 <1, 3, 4, 2, 7>

len[1] = 1, f[1] = a[1] = 1

len[2] = 2, f[2] = a[2] = 3

len[3] = 3, f[3] = a[3] = 4

len[4] = 2, f[2] = a[4] = 2 ( 更新了f[2] )

那么，如何求len[5] 呢？

f[1] = 1, f[2] = 2, f[3] = 4, a[5] = 7，

找出末尾元素比a[5]小，而且长度最长的递增子序列，此例中，

f[3] = 4 表示长度等于3的子序列，其末尾元素为4，这个子序列的长度最长。

a[5]加上此序列形成的新序列长度为4, 然后更新f[4] = a[5] = 7，表示长度等于4的子序列，其末尾元素等于7

在上面的步骤中，找出末尾元素比a[i]小，而且长度最长的子序列，其实就是对于f[1], ...f[k]， 从后往前找，第一个比a[i]小的元素就是长度最长的子序列。查找的时候可以用二分查找方法，故更快。

代码：

1、动态规划

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

unsigned int LISS(const int array[], size_t length, vector<int> &result)
{
    unsigned int liss[length];
    unsigned int pre[length];

    for(int i=0;i<length;++i){
        liss[i]=1;
        pre[i]=i;
    }

    int k=0;
    int max=1;
    for(int i=1;i<length;++i){
        for(int j=0;j<i;++j){
            if(array[j]<array[i] && liss[j]+1>liss[i]){
                liss[i]=liss[j]+1;
                pre[i]=j;

                if(max<liss[i]){
                    max=liss[i];
                    k=i;
                }
            }
        }
    }

//    i = max - 1;
    while(pre[k]!=k){
//        result[i--] = array[k];
        result.push_back(array[k]);
        k=pre[k];
    }
    //result[i] = array[k];
    result.push_back(array[k]);
    return max;
}


int main()
{
    int A[]={1,-5,4,5,10,-1,-5,7};
    int len=sizeof(A)/sizeof(A[0]);
    vector<int> result;

    cout << LISS(A,len,result) << endl;
    for(int i=0;i<result.size();i++)
        cout<<result[i]<<' ';
    cout<<endl;
}

2、优化

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

unsigned int LISS(const int array[], size_t length, vector<int> &result)
{
    unsigned int liss[length];
    unsigned int pre[length];
    unsigned int f[length];

    for(int i=0;i<length;++i){
        liss[i]=1;
        pre[i]=i;
        f[i]=0;
    }

    int k=0;
    int max=1;
    f[max]=0;

    for(int i=1;i<length;++i){
        for(int j=max;j>=1;--j){
            if(array[f[j]]<array[i]){
                liss[i]=j+1;
                pre[i]=f[j];

                if(f[liss[i]]!=0){
                    int old=array[f[liss[i]]];
                    if(array[i]<old)
                        f[liss[i]]=i;
                }
                else
                    f[liss[i]]=i;

                if(max<liss[i]){
                    max=liss[i];
                    k=i;
                }
                break;
            }
        }
    }

//    i = max - 1;
    while(pre[k]!=k){
//        result[i--] = array[k];
        result.push_back(array[k]);
        k=pre[k];
    }
    //result[i] = array[k];
    result.push_back(array[k]);
    return max;
}


int main()
{
    int A[]={1,3,4,2,7};
    int len=sizeof(A)/sizeof(A[0]);
    vector<int> result;

    cout << LISS(A,len,result) << endl;
    for(int i=0;i<result.size();i++)
        cout<<result[i]<<' ';
    cout<<endl;
}

在线测试OJ:

http://www.nowcoder.com/questionTerminal/585d46a1447b4064b749f08c2ab9ce66

AC代码:

class AscentSequence {
public:
    int findLongest(vector<int> A, int n) {
        vector<int> dp(n);
        vector<int> f(n);
        
        dp[0]=1;
        f[0]=A[0];
        
        int left,right,mid;
        int count=0;
        int lmax=1;
        for(int i=1;i<n;i++){
            left=0;
            right=count;
            while(left<=right){
                mid=left+((right-left)>>1);
                if(A[i]>=f[mid])
                    left=mid+1;
                else
                    right=mid-1;
            }
            
            f[left]=A[i];
            if(left>count)
                count=left;
            
            dp[i]=left+1;
            
            if(lmax<dp[i])
                lmax=dp[i];
        }
        
        return lmax;       
    }
};

class AscentSequence {
public:
    int findLongest(vector<int> A, int n) {
        int len=A.size();
        if(len<=1)
            return len;
        
        vector<int> mLen(n,1);
        int lMax=1;
        for(int i=1;i<n;i++){
            for(int j=0;j<i;j++){
                if(A[i]>A[j] && mLen[j]+1>mLen[i])
                    mLen[i]=mLen[j]+1;
                if(mLen[i]>lMax)
                    lMax=mLen[i];
            }
        }
        
        return lMax;
    }
};