[题解] PowerOJ 1751 数字梯形问题 (最大费用最大流)

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　https://www.oj.swust.edu.cn/problem/show/1751

# 1751: 数字梯形问题

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Description

给定一个由n 行数字组成的数字梯形如下图所示。梯形的第一行有m 个数字。从梯形 的顶部的m 个数字开始，在每个数字处可以沿左下或右下方向移动，形成一条从梯形的顶 至底的路径。 规则1：从梯形的顶至底的m条路径互不相交。 规则2：从梯形的顶至底的m条路径仅在数字结点处相交。 规则3：从梯形的顶至底的m条路径允许在数字结点相交或边相交。 2 3 3 4 5 9 10 9 1 1 1 10 1 1 1 1 10 12 1 1 对于给定的数字梯形，分别按照规则1，规则2，和规则3 计算出从梯形的顶至底的m 条路径，使这m条路径经过的数字总和最大。

Input

由文件input.txt提供输入数据。文件的第1 行中有2个正整数m和n（m,n<=20），分别 表示数字梯形的第一行有m个数字，共有n 行。接下来的n 行是数字梯形中各行的数字。 第1 行有m个数字，第2 行有m+1 个数字，…。

Output

程序运行结束时，将按照规则1，规则2，和规则3 计算出的最大数字总和输出到文件 output.txt中。每行一个最大总和。

• Sample Input
• Raw

2 5
2 3
3 4 5
9 10 9 1
1 1 10 1 1
1 1 10 12 1 1

• Sample Output
• Raw

66
75
77

Source

线性规划与网络流24题

　

- 思路 -

　还是把一个点一分为二, 一个向上连, 一个向下连, 第一层向上连到源点, 第 n 层向下连到汇点, 两点间的点连边费用为点券.
　对于第一种情况, 所有边容量都是 1 .
　对于第二种情况, 表示同一点的两个点间的边容量扩大到inf, 连向汇点的边也扩到inf.
　对于第三种情况, 把不同点间的边容量也扩到inf.
　求最大费用最大流.
　
　细节见代码.
　

- 代码 -

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
 
const int N = 1500;
const int M = 5000;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
 
int SP[2][M];
int V[M], CT[M], NXT[M], TO[M];
int HD[N], PRE[N], DIS[N], VIS[N];
int A[50], B[50];
int ss, tt, sz, m, n, tot;
queue<int> q;
 
void add(int x, int y, int c, int z1, int z2, int z3) {
    TO[sz] = y; NXT[sz] = HD[x]; HD[x] = sz;
    CT[sz] = c; V[sz] = z1;
    SP[0][sz] = z2; SP[1][sz++] = z3; //存第2,3种情况的容量.
    TO[sz] = x; NXT[sz] = HD[y]; HD[y] = sz;
    CT[sz] = -c; V[sz] = 0;
    SP[0][sz] = SP[1][sz] = 0; sz ++;
}
 
bool spfa() {
    memset(DIS, 0xc0, sizeof (DIS));
    DIS[ss] = 0;
    q.push(ss);
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        VIS[u] = 0;
        for (int i = HD[u]; i != -1; i = NXT[i]) {
            int v = TO[i];
            if (V[i] && DIS[v] < DIS[u] + CT[i]) {
                DIS[v] = DIS[u] + CT[i];
                PRE[v] = i;
                if (!VIS[v]) {
                    VIS[v] = 1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    return DIS[tt] > 0;
}
 
int macmf() {
    int cost = 0;
    while (spfa()) {
        int tmp = inf;
        for (int i = tt; i != ss; i = TO[PRE[i]^1])
            if (tmp > V[PRE[i]]) tmp = V[PRE[i]];
        for (int i = tt; i != ss; i = TO[PRE[i]^1]) {
            V[PRE[i]] -= tmp;
            V[PRE[i]^1] += tmp;
        }
        cost += tmp * DIS[tt];
    }
    return cost;
}
 
int main() {
    memset(HD, -1, sizeof (HD));
    scanf("%d%d", &m, &n);
    ss = 0, tt = ++tot;
    int cnt = n * (m + m + n - 1) / 2;
    for (int i = 1, x; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            scanf("%d", &x);
            A[j] = ++tot;
            add(tot, tot + cnt, x, 1, inf, inf);
            if (i == 1) add(ss, tot, 0, 1, 1, 1);
            else {
                if (i == n) add(tot + cnt, tt, 0, 1, inf, inf); 
                if (j != 1) add(B[j - 1], tot, 0, 1, 1, inf);
                if (j != m) add(B[j], tot, 0, 1, 1, inf); //注意这里是B[j]不是B[j+1]
            }
        }
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            B[j] = A[j] + cnt;
        m++;
    }
    printf("%d
", macmf());
    for (int i = 0; i < 2; ++i) {
        for (int j = 0; j < sz; ++j)
            V[j] = SP[i][j];
        printf("%d
", macmf());
    }
    return 0;
}