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| 68/245 | 2/10 | O | Ø | Ø | Ø | O | Ø | Ø | Ø | Ø | . |
O: 当场通过
Ø: 赛后通过
.: 尚未通过
A Circulant Matrix
solved by chelly
chelly's solution
直接FWT
B Enumeration not optimization
upsolved by chelly
chelly's solution
设(f(S,i))表示以集合S中的点连出一个生成树，i为根的方案数，(g(S,i))表示以集合S中的点连出一个生成树，i为根，所有情况下的所有节点的深度和
f和g可以通过枚举子集、合并子集来转移
考虑枚举每一条边(x,y,w)，算贡献，即(x,y)在多少个有根生成树中出现
因为在有根树中，边都是有向的，所以x->y和y->x都要分别计数，我们不妨来计数x->y
我们枚举x包含的点集S，那么y包含的点集就是U-S，对答案的贡献是(g(S,x)*f(U-S,y))
因为我们需要求的是以S中任意一个点为根，x在其中的深度和，这个东西可以反过来考虑，就相当于以x为根的所有点的深度和
时间复杂度(O(n^23^n))
C Gambling
upsolved by chelly&ch
chelly's solution
首先可以列出一张表(g(i,j))，表示A已经赢了i场，B已经赢了j场的情况下，我已经有的利润，同理(f(i,j))表示下一局应该下的钱数
显然有(g(i,j)=frac{g(i,j+1)+g(i+1,j)}{2})，(f(i,j))可以通过差分得到，于是我们可以通过(O(n^2))得到这个表，现在需要优化
进一步发现(f(i,j)=frac{f(i,j+1)+f(i+1,j)}{2})，可以把这个(frac{1}{2})提出来，然后f(i,j)的值就可以理解为：从(n-1,n-1)走到(i,j)的方案数 除以 2^(坐标差)
这个就可以写成一个式子了，于是每个f(i,j)都可以写成一个组合数，问题就解决了
D The number of circuits
upsolved by chelly
chelly's solution
考虑利用BEST theorem求解欧拉回路的个数，我们容易发现对于这个图，主要是(t_w(G))不好求，BEST theorem后面的那一项一定是(((k-1)!)^n)。
求解(t_w(G))，如果用Matrix-Tree定理，那么显然复杂度不够。
注意到k很小，所以这个是可以用状态压缩+矩阵乘法做的，所以对于固定的k，(t_w(n))一定是个线性递推，我们可以用Matrix-tree定理暴力跑出前面若干项，然后丢到BM里
最后不要忘记乘上(((k-1)!)^n)
E Music Game
solved by chelly
chelly's solution
对期望dp一下，时间复杂度(O(n^2))
upsolved by chelly
chelly's solution
考虑对于每个位置维护(x^m)，表示到当前位置为止的连续正确的得分期望，那么对于下个位置，对答案的额外贡献就是((x+1)^m-x^m)，这个需要维护每一个(x^0,x^1,...,x^m)，难以维护。考虑维护下降幂的贡献，最后再转成(x^m)。注意任何期望长度的0次下降幂总是1。时间复杂度(O(nm))。
F Typing practice
upsolved by chelly
chelly's solution
建出Trie图，然后从所有danger节点反向跑BFS，得到每个状态点到单词节点的最短路径。然后询问串在Trie图上走就行了。
G Longest Common Subsequence
upsolved by chelly
chelly's solution
把同一个数字在4个序列中出现的位置抠出来形成一个四维空间的点
题目就是需要找一个最长上升子序列，这个我们只需要对一维排序，另外三维用kdtree维护最大的dp值即可
H Prefix Sum
upsolved by chelly
chelly's solution
比较暴力的方法是可以对操作分块，可以通过这个题。
题解给了很妙的做法。
对于询问x，需要回答的是(sum_{1 leq i leq x} inom{x-i+k}{k}a[0][i])，其中有x和j两个变量，我们考虑把其拆分
(ans=sum_{1 leq i leq x} sum_{0 leq j leq k} inom{x}{j} inom{k-i}{k-j}a[0][i])
我们可以维护k+1个树状数组即可，注意这里需要定义负数意义下的组合数。
时间复杂度(O(m log n k))
I Juggernaut
upsolved by chelly
chelly's solution
考虑如果没有异或为0的限制，那么显然有
其中a表示对于行，走a步走回同一个横坐标，b表示对于列，走b步走回同一个横坐标，设(l=lcm(a,b))
那么(frac{l}{a})就表示对于同一列，一个等价类出现了多少次，(frac[l}{b})就表示对于同一行，一个等价类出现了多少次
那么(frac{n}{a} imes frac{m}{frac{l}{a}})的矩阵就是个单位矩阵，(frac{n}{frac{l}{b}} imes frac{m}{b})的矩阵也是个单位矩阵
现在考虑有异或为0的限制，这意味着原本(frac{nm}{l})个自由元会少掉一些
- 若(frac{l}{a})为奇数，(frac{l}{b})为偶数，那么对于平铺矩阵的最后一列的那些自由元，将不再变成自由元，自由元数量减少(frac{n}{a})
- 若(frac{l}{b})为奇数，(frac{l}{a})为偶数，那么对于平铺矩阵的最后一行的那些自由元，将不再变成自由元，自由元数量减少(frac{m}{b})
- 若(frac{l}{a})为奇数，(frac{l}{b})为奇数，那么对于平铺矩阵的最后一行最后一列的自由元，将不再变成自由元，自由元数量建设好(frac{n}{a}+frac{m}{b}-1)
注意此题的模数小于1e9，所以可以对(nmp)取模，最后除以(nm)，要用__int128
J Maze
unsolved
Replay
这场比赛由chelly打的。
首先chelly有点神志不清，大约画了1h才把E题切掉。然后就一直卡F了……到结束之前才发现A题是个水题，就把A题切了……