Codeforces Round #429 C 组合公式

Codeforces Round #429 C 题目链接

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这题规律很好找，用最大的跟最小的匹配就好了，但是证明还是挺烦人的。听说是高考题。。。

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(F(n,r) = 1p_1+2p_2+3p_3+cdots+kp_k), 其中k是选取的最小值，(p_k)表示的是选取最小值的概率。

[F(n,r) = 1 imesfrac{C_{n-1}^{r-1}}{C_n^r} + 2 imesfrac{C_{n-2}^{r-1}}{C_n^r} + cdots + k imesfrac{C_{n-k}^{r-1}}{C_n^r}\, , k = 1,2,cdots,n-r+1.]

[C_n^r\,F(n,r) = 1 imes C_{n-1}^{r-1} + 2 imes C_{n-2}^{r-1} + cdots + k imes C_{n-k}^{r-1}\, , k = 1,2,cdots,n-r+1.]

令$ G(n,r) = 1C_{n-1}^{r-1} + 2C_{n-2}^{r-1} + cdots + kC_{n-k}^{r-1} $。

有如下关系

(C_{n-1}^{r-1} - C_{n-2}^{r-2} = C_{n-2}^{r-1})

所以不难得出$G(n, r) = G(n, r-1) + G(n-1,r-1) $ ,发现这个跟组合数有着相同的性质。

(G(n,1) = 1C_{n-1}^{0} + 2C_{n-2}^{0} + cdots + kC_{n-k}^{0} = 1+2+3+cdots+k=1+2+3+cdots+n = frac{n(n+1)}{2} = C_{n+1}^{2})
(G(n-1,1) = frac{n(n-1)}{2})
(G(n-1, 0) = G(n,1) - G(n-1,1) = n)
(G(n, 0) = n+1 = C_{n+1}^{1})

可以得到(G(n,r) = C_{n+1}^{r+1}), 数学归纳法可证

(F(n,r) = C_{n+1}^{r+1}/C_{n}^{r} = frac{n+1}{r+1})。

所以要(B_i)尽量大，(A_i)尽量小，问题可解

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <string>
#include <math.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> P;
typedef long long LL;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-9;
const int N = 2e5 + 5;
struct node
{
    int id;
    int val;
};
node a[N];
int b[N],m;
bool cmp1(node a, node b)
{
    return a.val < b.val;
}
bool cmp(int a, int b)
{
    return a>b;
}
bool cmp2(node a, node b)
{
    return a.id < b.id;
}
int main()
{
    scanf("%d", &m);
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        scanf("%d", &b[i]);
    }
    sort(b,b+m,cmp);
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i].val);
        a[i].id = i;
    }
    sort(a, a+m, cmp1);
    for(int i = 0; i < m; i++)
        a[i].val = b[i];
    sort(a, a+m, cmp2);
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        if(i) printf(" ");
        printf("%d", a[i].val);
    }
    printf("
");

    return 0;
}