一些对于错排问题的简单思考

概述

错排问题是一个古老有趣的数学问题，最早由 Bernouli 和 Euler 开始研究，也被称为 Bernouli-Euler 问题。问题十分简单，即五个标数了的不同物品分别放入五个标数了的不同盒子，每个盒子对应且仅对应一个物品，有多少种使物品和盒子标号不同的方法。

探讨

首先对于错排问题的第一想法是枚举。不妨设 (f(n)) 为 (n) 个盒子的错排最终结果。则：

[f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=9,f(5)=44,... ]

但是枚举的复杂度是 (Theta(n!))，运算量十分大，不利于计算，我们需要一些更加优秀的做法。

Solution 1 递推

我们不妨认为标号为 (1) 的物品放在了位置 (k)，那么 (k) 有 (n-1) 种选择。接下来考虑标号为 (k) 的物品的放置：

• 放置在了标号为 (1) 的物品处，那么剩下的物品就变为了一个规模为 (n-2) 的子问题。
• 没有放置在标号为 (1) 的物品处。此时可以将第 (k) 个物品视为第一个物品，并将第一个物品删去，此时对剩下每个物品的限制与原问题相同，又变为了一个规模为 (n-1) 的子问题。
  那么递推式即为：

[f(n)=egin{cases}(n-1)(f(n-1)+f(n-2)) & forall ngeq 3\0 & n=1\1 & n=2end{cases} ]

至此我们已经将复杂度降到了 (Theta(n))，但对 (f(n)) 仍依赖于前两项。继续推导。

由于在式中 (n-1) 并非常数，无法直接用特征根法，非常遗憾。

观察原式，我们发现 (f(n)) 的数量级与 (n!) 十分相似（原因是可以观察到与 (F(n)=n!=nF(n-1)) 有些类似，区别只是多了前一项与系数不同）。不妨令 (g(n)=frac{f(n)}{n!})，那么：

[n!g(n)=(n-1)((n-1)!g(n-1)+(n-2)!g(n-2)),forall ngeq 3 ]

对右半边的括号进行展开并提取公因式即：

[ng(n)=(n-1)g(n-1)+g(n-2),forall ngeq 3 ]

相邻项相减，并循环代入：

[g(n)-g(n-1)=-frac{1}{n}(g(n-1)-g(n-2))=(-frac{1}{n})(-frac{1}{n-1})(g(n-2)-g(n-3))=...=prodlimits_{k=1}^n(-frac{1}{k})=frac{(-1)^n}{n!},forall ngeq 4 ]

代入验证发现对于 (n=3,2) 同样成立。那么：

[egin{cases}g(n)-g(n-1)&=frac{(-1)^n}{n!}\g(n-1)-g(n-2)&=frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\&...\&...\&...\g(2)-g(1)&=frac{(-1)^2}{2!}end{cases} ]

套路地通加：

[g(n)-g(1)overset{g(1)=0}{=}g(n)=sum_{k=2}^nfrac{(-1)^k}{k!},forall nin mathbb{N}^* ]

回到最初 (g(n)=frac{f(n)}{n!})，那么：

[f(n)=n!sum_{k=2}^nfrac{(-1)^k}{k!} ]

至此得出了最终的结论，相较于递推式，这个式子更加直接，不依赖于 (f(n-1)) 和 (f(n-2))，不过复杂度与递推式相同。

Solution 2 容斥

直接对原问题大力容斥。首先对于 (n) 个物品的全排列为 (n!) 个，我们需要舍掉那些满足第 (k) 个物品放在标号为 (k) 位置的排列，也即 (ncdot(n-1)!=n!) 个；接下来需要加上上一轮多减去的放对两个位置的排列，共 (inom{n}{2}(n-2)!) 种；……以此类推，可以得出最后的结果是：

[sum_{k=2}^n (-1)^kinom{n}{k}(n-k)!=sum_{k=2}^nfrac{(-1)^kn!}{k!}=n!sum_{k=2}^nfrac{(-1)^k}{n!} ]

注意这里为了避免 (0!) 的出现直接抵消了初始状态和容斥一轮的 (n!)。可以发现得出了和 Solution 1 完全相同的结论。

Solution 3 二项式反演

这个方法相较于 Sol1 和 Sol2 而言，速度较快。

定义 (g(n)) 为 (n) 个物品任意放的排列数。枚举有几个物品放在了自己的位置上，那么容易得到：

[g(n)=sum_{k=0}^ninom{n}{k}f(k) ]

直接对其进行二项式反演，得到：

[f(n)=sum_{k=0}^n(-1)^{k}inom{n}{k}g(k) ]

由于 (g(n)=n!)，直接代入即得：

[f(n)=sum_{k=2}^nfrac{(-1)^n}{n!} ]

这里同样直接约去了 (k=1,2)。

结语

错排问题仅是组合计数中的一个经典问题。看到这里，相信您对错排问题有了一些了解。但至此，计数领域的宏伟仅露冰山一角，海平面下的风景仍需各位探寻。
那么，旅途愉快。