镇楼图
Pixiv:torino
注：有关程序部分均用C with STL描述；部分有数学证明，我个人认为过于简单或不常用的结论我不会进行证明，可以at我，我可以提供证明
一、整除、gcd与lcm
整除性
关于整数的加法、减法、乘法其运算都会保证结果都还在整数范畴呢，但唯独除法会产生其他结果
整除性是指b能整除a，即\(∃q∈Z，a=bq\)，记作\(b~|~a\)（\(b≠0\)）
其中\(b\)称为\(a\)的因数，\(a\)是\(b\)的倍数
若\(\not ∃q∈Z\)，即\(b\)不整除\(a\)，记作\(b~|\not~~a\)
整除性的性质
■若\(c~| ~b，b~| ~a\)，则\(c~|~a\)（传递性）
■若\(b~|~a\)，则\(∃k∈Z^*，kb~|~ka\)
■若\(kb~|~ka\)，则\(b~|~a\)
■若\(c~|~a，c~|~b\)，则\(m,n∈Z，c~|~ma+nb\)
■若\(b~|~a，a≠0\)，则\(|b|≤|a|\)
■若\(b~|~a，a≠0\)，则\(\frac{a}{b}~|~a\)
■若\(b~|~0\)，则\(∀q∈Z\)
余数
余数定义：若\(∀a,b∈Z，b＞0\)，则\(∃!q,r∈Z，a=bq+r\)（\(r∈[0,b)\)）
其中\(r=<a>_b\)称为\(a\)整除\(b\)的非负最小剩余（余数）即\(r=a\%b\)，当除数一致时可省略
■\(<a_1+a_2>=<<a_1>+<a_2>>\)
■\(<a_1a_2>=<<a_1><a_2>>\)
最大公因数
公因数定义：假设有一组正整数\(a_1,a_2,...,a_n\)，若\(d~|~a_1,d~|~a_2,...,d~|~a_n\)则称\(d\)为\(a_1,a_2,...,,a_n\)的公因数
最大公因数定义：假设有一组正整数\(a_1,a_2,...,a_n\)，若\(d_1,d_2,...,d_n\)是这一组数的公因数，则\((a_1,a_2,...,a_n)=max{d_1,d_2,...,d_n}\)称为最大公因数，简记为\(m\)
■\(m~|~a_i\)
■\(1≤m≤min(a_i)\)
■\(d_i~|~m\)（最大公约数是其他公约数的约数）
■\((a,b)≥n\)，当且仅当\(\begin{cases}n~|~a \\ n~|~b \end{cases}\)（证明要用到的重要结论！！！）
这个性质不难理解，由公因数的定义可得，因为n是公因数，那么肯定是要小于等于最大公因数的。但这里存在一个转换思路的过程。也就是如果要证明有关不等式的问题，可以将这个问题转成整除问题
■若\(m~|~a,m~|~b\)，则\(m~|~(a,b)\)
■\((a,b)~|~a，(a,b)~|~b\)
■若\(a=bq+r\)即满足余数定义且\(a,b∈N_+\)，则\((a,b)~=~(b,r)=r_n\)（欧几里得算法）
证明：
要证明\((a,b)~=~(b,r)\)即证明\(\begin{cases} (a,b)≤(b,r) \\ (b,r)≤(a,b) \end{cases}\)
这里只说明其中一条其余可自证
由整除性第二条性质得要证明\((a,b)≤(b,r)\)即证明\(\begin{cases}(a,b)≤b \\ (a,b)≤r \end{cases}\)
\(∵(a,b)~|~b\)
\(∴(a,b)≤b\)
\(∵r=a-bq\)
\(∴(a,b)~|~(a-bq)\)（整除性第四条性质，已略部分步骤）
\(∴(a,b)≤(b,r)\)
同理可得\((b,r)≤(a,b)\)
\(∴(a,b)=(b,r)\)
比如要求解\((a,b)\)可以‘先求解\((b,r)\)直到最后\(r\)变小至0即可，在后面详细描述了欧几里得算法的实现即到最后会得到一个\((x,0)\)的一组数，那么\(x=(a,b)\)
■若\(a,b∈N_+\)，则\((a,b)=ma+nb\)
证明：
本质上是欧几里得算法的逆过程
\(a = bq_1+r_1\)
\(b = r_1q_2 + r_2\)
\(...\)
可以用一个四元组表示这四个数
\(<a,b,r_1,q_1>→<b,r_1,r_2,q_2>→...→<r_{n-1},r_n,r_{n+1},q_{n+1}>\)
\(r_{n+1} = 0\)
其中定义\(a,b,r_i\)前的系数统一定为\(C\)
（注意引入的\(C\)是一个表示任意的常数，C和C不一定相等）
\(r_{n-1}=Cr_n\)
\(r_{n-2}=Cr_n+r_n\)
\(r_{n-3}=Cr_n+r_{n-1}\)
\(r_{n-4}=Cr_{n}+Cr_{n-1}+r_{n-2}=Cr_n\)
简单来说就是不管是第几项都可以通过不断回代得到\(Cr_n\)至于\(C\)为多少需要计算
那么在第一项就可以这么表达
\(a=Cb+r_1=Cb+Cr_n\)→\(r_n=Ca+Cb=ma+nb\)
由此得证
具体算法求解m、n贴在了后面
■绝对最小剩余：若满足余数定义\(a=bq+r\)且\(|r|≤\frac{b}{2}\)，此时\(|r|\)称为绝对最小剩余
在欧几里得算法上运用绝对最小剩余在某些情况下可以优化次数
但首先要将一个非负最小剩余处理为绝对最小剩余
\(\begin{cases}r,r ≤ b/2,a=qb+r \\ r-b,b/2<r<b,r=(q+1)b+r-b \end{cases}\)
简单来说就是如果发现不满足绝对最小剩余，可以q+1后r再减去b从而得到一个满足绝对最小剩余的余数（这里不作证明）
具体算法参考后面，只是多了一个判断就能优化
欧几里得算法（辗转相除法）
问题描述：已知性质\((a,b)=(b,r)\)，如何求解正整数\(a\)、\(b\)的最大公因数？
数学解决
\((a,b)=(b,r_1)=(r_1,r_2)=...=(r_{n-1},r_{n})=(r_n,0)=r_n\)
\(a=bq_1+r_1\)
\(b=r_1q_2+r_2\)
...
\(r_{n-1}=r_nq_{n+1}+r_{n+1}\)
\(∵r_{n+1}=0\)
\(∴r_{n}=(r_n,0)=(r_{n-1},r_n)=...=(a,b)\)
程序解决
//假设a>b,即a为被除数,b为除数
int gcd(int a,int b){
return (b) ? gcd(b,a%b) : a ;
}
绝对最小剩余优化欧几里得算法
绝对最小剩余在某些情况下可以优化近一半的次数
比如gcd(288,158)
简单来说就是发现不满足绝对最小剩余的条件
■q变为q+1
■r变为r-b
（但是传参时为正数所以具体实现上r要变成b-r）
int gcd(int a, int b) {
int r = a % b;
if (r > b / 2)r = (b-r);
return (r) ? gcd(b, r) : b;
}
推广：求解多个数的最大公约数
上面已经知晓了欧几里得算法求解两个数的最大公约数，如果要求解多个，其实也相当简单
（1）定理说明
假设有n个数，\(a_1,a_2,...a_n\)
\((a_1,a_2)=d_2\)
\((d_2,a_3)=d_3\)
\(...\)
$(d_{n-1},a_n)=d_n $
\(∴(a_1,a_2,...,a_n)=(d_{n-1},a_n)=d_n\)
数学证明略， 比较简单，可以用数学归纳法证明
同理可以推广得到裴蜀定理
\((a_1,a_2,...,a_n)=∑x_ia_i\)
（3）程序求解
//已知int gcd(int a,int b);
//备注:保证n>=2且传入参数均正整数，不作异常判断
int gcd(vector<int> n) {
int len = n.size();
int d = gcd(n[0], n[1]);
for (int i = 2; i < len; i++) {
d = gcd(d, n[i]);
}
return d;
}
裴蜀定理引入（又称扩展欧几里得算法）
先来个具体案例，假设要求a=288,b=158的公因数，先尝试用欧几里得算法得到具体过程
/*
288=1*158+130
158=1*130+28
130=4*28+18
28=1*18+10
18=1*10+8
10=8*1+2
8=2*4
此时(a,b)=(r(n),0)=2
*/
裴蜀定理相当于回代的过程
简单来说就是除数当作上一情况的余数做回代
如2是最后情况的除数,确实是倒数第二步的余数，同理可得其他情况
因此抽象成递推式得到
当前情况：\(r_{i-1}=r_iq_{i+1}+r_{i+1}\)
上一情况：\(r_{i-2}=r_{i-1}q_{i}+r_i\)
当前情况的除数是\(r_i\)
由上一情况转换得
\(r_{i}=r_{i-2}-q_{i}r_{i-1}\)
根据欧几里得算法我们是知道传入的前两个数的
即已知当前情况的\(r_{i-1},r_{i}\)和上一情况的\(r_{i-2},r_{i-1}\)
所以也就剩下\(q_i\)未知，因此可以求得
\(q_{i}=r_{i-2}/r_{i-1}\)（整除）
因此只要知道最基本的情况，不断求解\(q_i\)即可回到第一步
但现在还少点东西，之后算法的实现还会用到上述证明过程，先看转换的具体的过程
/*
2=10-8*1 (1)2是最初的除数
=10-(18-10*1)*1 (2)转8
=2*10-18
=2*(28-18)-18 (3)转10
=2*28-3*18
=2*28-3*(130-4*28) (4)转18
=14*28-3*130
=14*158-17*130 (5)转28
=31*158-17*288 (6)转130
∴(a,b)=31b-17a
*/
反推来看，设系数\(x,y\)满足\(ax+by=(a,b)\)
扩展欧几里得算法即求解最大公约数的同时带出系数
裴蜀定理证明与算法实现
现在考虑一般的递推的具体情况
基本情况：
\((r_n,0)\)时，等式为\((a,b)=x_{n}r_{n}+y_n*0\)
此时\(x=1,y=0\)（理论上y可以为任何值，但为了方便，约定为0）
而回代的过程在于将当前情况的除数回代成为上一情况的余数
根据之前推导的\(r_{i}=r_{i-2}-q_{i}r_{i-1}\)和\(q_{i}=r_{i-2}/r_{i-1}\)（整除）
\((a,b)=x_n(r_{n-2}-r_{n-1}q_n)\)
接下来只要一步一步推导即可，从\(r_n\)一直反推到\(b\)
递推情况：
已知在\((r_{i-1},r_{i})\)有\((a,b)=x_{i-1}r_{i-2}+y_{i-1}r_{i-1}\)
根据推导对\(r_{i-1}\)展开
在\((r_{i-2},r_{i-1})\)有\((a,b)=x_{i-1}r_{i-2}+y_{i-1}(r_{i-3}-⌊\frac{r_{i-3}}{r_{i-2}}⌋r_{i-2})=y_{i-1}r_{i-3}+(x_{i-1}-⌊\frac{r_{i-3}}{r_{i-2}}⌋)r_{i-2}\)
再简化成系数的变化（重要结论！！！）
\(x_{i-2}=y_{i-1} \\ y_{i-2}=x_{i-1}-⌊\frac{r_{i-3}}{r_{i-2}}⌋y_{i-1}\)
得到了这个结论后就可以来实现算法了
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
//递归,当b=0时即裴蜀定理的初始情况
//大体功能不变,依然返回(a,b)
if (!b) {
x = 1;
y = 0;//y值说过可以随意改
return a;
}
int gcd = exgcd(b, a%b, x, y);
int t = y;
y = x - a / b * y;
x = t;
//简单来说就是求出(a,b)以及更新系数
//更新前后的顺序自己需要捋顺
//这属于程序问题而不是数学问题
return gcd;
//细节备注:算法是要先知道初始的x,y才能继续更新
//因此先定义gcd达到初始情况定义x,y
}
最小公倍数
公倍数与公因数是相互对偶的概念，之间存在联系
公倍数定义：假设有一组正整数\(a_1,a_2,...,a_n\)，若\(a_1~|~m,a_2~|~m,...,a_n~|~m\)则称\(m\)为\(a_1,a_2,...,,a_n\)的公倍数
最小公倍数定义：假设有一组正整数\(a_1,a_2,...,a_n\)，若\(m_1,m_2,...,m_n\)是这一组数的公倍数，则\([a_1,a_2,...,a_n]=min{m_1,m_2,...,m_n}\)称为最小公倍数，简记为\(n\)
定理
■\(a_i~|~n\)
■\(n≥max(a_i)≥1\)
■\(n~|~m_i\)（其他公倍数是最小公倍数的倍数）
■\([a,b]≤n\)，当且仅当\(\begin{cases}a~|~n \\ b~|~n \end{cases}\)（证明要用到的重要结论！！！）
■若\(a~|~m,b~|~m\)，则\([a,b]~|~m\)
■\([a,b](a,b)=ab\)（重要结论！！！）
（2）数学证明
首先将形式转变：\((a,b)=\frac{ab}{[a,b]}\)
要证明这个即证明两方面\(\begin{cases}(a,b)≤\frac{ab}{[a,b]} \\ (a,b)≥\frac{ab}{[a,b]} \end{cases}\)
（之前证明过类似的）
这里只证明其中一点，要证明\((a,b)≤\frac{ab}{[a,b]}\)即证明\(\begin{cases}\frac{ab}{[a,b]} ~|~a \\ \frac{ab}{[a,b]}~|~ b\end{cases}\)
同样只证明一个
由于这个式子非常特殊你可以轻易地写出
\(a=(\frac{ab}{[a,b]})(\frac{[a,b]}{b})\)
而且对于这个式子\(\frac{ab}{[a,b]}\)是整数（根据公倍数性质得到）
\(\frac{[a,b]}{b}\)是整数（根据公倍数性质得到）
\(∴{[a,b]} ~|~a\)
同理可得...
\(∴\frac{ab}{[a,b]}~|~a\)
对于\((a,b)≥\frac{ab}{[a,b]}\)
最大公因数的性质无法将不等式转换成一组整除
但替换后\([a,b]≥\frac{ab}{(a,b)}\)最小公倍数可以将不等式转换一组整除\(\begin{cases}a~|~\frac{ab}{(a,b)} \\ b~|~\frac{ab}{(a,b)} \end{cases}\)
同理可得...
因此证得公式
可以发现证明等于的问题基本就是等于转不等式，不等式再根据最大公因数或最小公倍数的特点转成整除问题即可。整除问题只要能找到整数和整的除数相乘得到整的被除数即可。因此转换成了最小的问题是不是整数的问题，这个不难证明
（3）程序求解
/*已知之前所写的函数*/
int lcm(int a,int b){
return a/gcd(a,b)*b;
}
推广：求解多个数的最小公倍数
与之前类似
//备注:保证n>=2且传入参数均正整数，不作异常判断
int lcm(vector<int> n) {
int len = n.size();
int m = lcm(n[0], n[1]);
for (int i = 2; i < len; i++) {
m = lcm(d, n[i]);
}
return m;
}
推广：裴蜀定理
同理最大公约数可以推广，自然其扩展的算法当然也可以，但计算时更加复杂，这里给出我个人的解答，不代表没有其他解法
假设有一堆数\(n[0],n[1],...,n[N]\)
推广的裴蜀定理就是\(∑_ix[i]n[i]=(n[0],n[1],...,n[N])\)
如何求解各个系数呢？
和推广的欧几里得算法一致，先算前两项，然后\(d\)作为参数计算后面的项
\(d=(n[0],n[1])\)
算出第一项并带出\(x[0],x[1]\)
即式子是\(d=x[0]n[0]+x[1]n[1]\)
然后将\(d\)看成一整项，求解\(d'=(d,n[2])\)
最后也会求出系数，d的系数定为combine
即\(d'=combine*d+x[2]n[2]=combine*x[0]n[0]+combine*x[1]n[1]+x[2]n[2]\)
那么combine会作用到之前所求的所有数之上
...
//备注:保证n>=2且传入参数均正整数，不作异常判断
int exgcd(vector<int> n, vector<int> &x) {
//x[i]存储n[i]的系数
//需要保证n.size()=x.size()
int len = n.size();
int d = exgcd(n[0], n[1], x[0], x[1]);
int combine;
//combine用于指定联合的系数最后x[j]要乘上的
for (int i = 2; i < len; i++) {
d = exgcd(d, n[i], combine, x[i]);
for (int j = 0; j < i; j++) {
x[j] *= combine;
}
}
return d;
}
本章结束代码
在每章结束后我会附上完整的代码你是可以直接运行的
而代码会是本章讲到的一个内容的完整版
//推广的裴蜀定理
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if (!b) {
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int gcd = exgcd(b, a%b, x, y);
int t = y;
y = x - a / b * y;
x = t;
return gcd;
}
//备注:不作异常判断
int exgcd(vector<int> n, vector<int> &x) {
int len = n.size();
int d = exgcd(n[0], n[1], x[0], x[1]);
int combine;
for (int i = 2; i < len; i++) {
d = exgcd(d, n[i], combine, x[i]);
for (int j = 0; j < i; j++) {
x[j] *= combine;
}
}
return d;
}
int main() {
vector<int> n;
n.push_back(288);
n.push_back(158);
n.push_back(77);
vector<int> x(3, 0);
cout << exgcd(n,x) << endl;
cout << x[0] << "\t" << x[1] << "\t" << x[2] << endl;
return 0;
}