BZOJ 3144 切糕 最小割

题意：

　　一个矩阵，每个格子分配一个数，不同的数字，代价不同，要求相邻格子数字差小等于d

　　求最小代价。

分析：

　　我猜肯定有人看题目就想到最小割了，然后一看题面理科否决了自己的这个想法……

　　没错，就是最小割……

　　你是否还记得，在第一篇网络流题解中，我们了解了网络流最重要的是“限制”二字。

　　我们在这道题中，先把限制放宽，考虑在不限制编号差小于等于d的情况下，怎么办？

　　我们俯视这个立方体，把每个位置的所有层的点由下到上连起来，变成P*Q个点串，底面上所有的点连源点，顶面上所有点连汇点，权值反应在边上，求最小割即可。

　　那我们现在有限制了，怎么办？

　　一个思路是，我们想办法强制如果相邻两个点割开的位置距离大于d，那就绝对不能割开这两个点，所以我们有一个这样的脸变方法：从当前点串的i号点向相邻点串的i-d号点连一条正无穷的边，这样呢，当我们两个相邻的点串有割开距离大于d的时候，自然会有一条正无穷的边让我们割不开，于是跑最小割就可以合法了！

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ms(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;int tot=0;
const int N=100005,M=45,inf=0x3f3f3f3f;
struct node{int y,z,nxt;}e[N*10];
int n,m,k,D,S,T,c=1,f[M][M][M],h[N],d[N];
int q[N],xx[4]={0,0,1,-1},yy[4]={1,-1,0,0};
int p(int x,int y,int z){
    return z==0?0:(z-1)*n*m+(x-1)*m+y;
} void add(int x,int y,int z){
    e[++c]=(node){y,z,h[x]};h[x]=c;
    e[++c]=(node){x,0,h[y]};h[y]=c;
} bool bfs(){
    int f=1,t=0;ms(d,-1);
    q[++t]=S;d[S]=0;
    while(f<=t){
        int x=q[f++];
        for(int i=h[x],y;i;i=e[i].nxt)
        if(d[y=e[i].y]==-1&&e[i].z)
        d[y]=d[x]+1,q[++t]=y;
    } return (d[T]!=-1);
} int dfs(int x,int f){
    if(x==T) return f;int w,tmp=0;
    for(int i=h[x],y;i;i=e[i].nxt)
    if(d[y=e[i].y]==d[x]+1&&e[i].z){
        w=dfs(y,min(e[i].z,f-tmp));
        if(!w) d[y]=-1;
        e[i].z-=w;e[i^1].z+=w;
        tmp+=w;if(tmp==f) return f;
    } return tmp;
} void dinic(){
    while(bfs()) tot+=dfs(S,inf);
} void build(){
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;add(p(i,j,k),T,inf),j++)
    for(int v=1;v<=k;v++){
        add(p(i,j,v-1),p(i,j,v),f[i][j][v]);
        if(v>D)
        for(int u=0;u<4;u++){
            int nx=i+xx[u],ny=j+yy[u];
            if(nx<1||ny<1||nx>n||ny>m) continue;
            add(p(i,j,v),p(nx,ny,v-D),inf);
        } 
    } 
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    S=0;T=n*m*k+1;scanf("%d",&D);
    for(int i=1;i<=k;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    for(int v=1;v<=m;v++)
    scanf("%d",&f[j][v][i]);
    build();dinic();
    printf("%d
",tot);return 0;
}