洛谷P2606 [ZJOI2010]排列计数

B. Perm 排列计数

题目描述

称一个1,2,...,N的排列P1,P2...,Pn是Magic的，当且仅当2<=i<=N时，Pi>Pi/2. 计算1，2，...N的排列中有多少是Magic的，答案可能很大，只能输出模P以后的值

输入格式

输入文件的第一行包含两个整数 n和p，含义如上所述。

输出格式

输出文件中仅包含一个整数，表示计算1,2,?, ???的排列中， Magic排列的个数模 p的值。

样例

样例输入

20 23

样例输出

16

数据范围与提示

100%的数据中，1 ≤ N ≤ 10^6, P≤ 10^9，p是一个质数。 数据有所加强

在mikufun大佬的引导下一步一步地搞出了这道题……

看到这道题的第一感觉：拆成链。然而他并不能拆成链…之后mikufun说他和一个数据结构比较像，我就在纸上画…

觉得像树状数组，然后就画出了这玩意：

 

并不是树状数组…但是把它转一下就会发现他是一颗线段树，于是这道题就是求n个节点的小根堆数目，dp呗。

设f[i]为以i为根的子树的种数，则f[i]=f[l]*f[r]*C(size[x]-1,size[l]);因为i肯定为最小的数，所以size[x]-1;

卢卡斯定理实现即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
LL n,p;
LL jc[1000010];

LL inv(LL a,LL b)
{
    LL ans=1,res=a;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=ans*res%p;
        res=res*res%p;
        b=b>>1;
    }
    return ans%p;
}
LL C(LL n,LL m)
{
    if(n<m)return 0;
    return jc[n] * inv(jc[m],p-2)%p * inv(jc[n-m],p-2)%p;
}
LL Lucas(LL n,LL m)
{
    if(!m)return 1;
    return C(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p)%p;
}
LL size[2000010];
LL dfs(LL x)
{
    if(x>n)return 1;
    LL ls=dfs(x*2),rs=dfs(x*2+1);
    size[x]=size[x*2]+size[x*2+1]+1;
    return ((ls*rs)%p)*Lucas(size[x]-1,size[x*2])%p;
}
signed main()
{
    cin>>n>>p;
    jc[0]=jc[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        jc[i]=jc[i-1]*i%p;
    cout<<dfs(1);
}