[学习笔记]Nim游戏&SG函数

SG函数

定义

• P-position(Previous): 当前选手的必败态
• N-position(Next): 当前选手的必胜态

状态转移方式

• 无路可走时是P-position
• 如果存在能让游戏状态变成P-position的走法，则当前状态为N-position
• 如果所有能到达的游戏状态都是N-position，则当前状态为P-position

性质

由状态转移方式推得

1. 所有terminal position为P-position
2. N-position的游戏状态一定可以转移到某个P-position
3. P-position的游戏状态不可能转移到别的P-position

只要满足上面三条性质，则游戏状态合法.

应用

• mex运算: 表示最小的不属于这个集合的非负整数

• 对游戏状态建DAG

• SG函数f(x)=mex{f(y)|x->y\(\in\)DAG}
  假设f(x)=0为必败态(P-position)，反之为必胜态(N-position)

  1. 所有terminal position无出边，f(x)=0
  2. f(x) \(\neq\) 0时，存在一条出边指向的y满足f(y) \(=\) 0
  3. f(x) \(=\) 0时，所有出边指向的y满足f(y) \(\neq\) 0

  满足三条性质

Nim游戏及其变体

Nim Game

n堆石子, 两个人轮流操作, 每次可从任意一堆中取出任意多>0的石子, 无法操作者输.

• 结论：P-position为所有石子数的异或和=0.
• 证明：

1. terminal position，即石子数都为0，为P-position.

2. 若当前为N-position，即异或和k（设最高位为x）不为0，则必存在石子数\(a_i\)的位x为1，满足\(a_i\;xor\;k<a_i\).
   取\(a_i-a_i\;xor\;k\)即可.

   \(\begin{aligned}&a_1\;xor\;a_2\;xor...xor\;(a_i\;xor\;k)\;xor...xor\;a_n\\=&a_1\;xor\;a_2\;xor...xor\;a_i\;xor...xor\;a_n\;xor\;k\\=&k\;xor\;k\\=&0\end{aligned}\)

   转移到了某个P-position.

3. 若当前为P-position，即异或和为0，则无论怎么取，取后异或和必不为0，即不可能转移到别的P-position.

Nimk Game

n堆石子, 两个人轮流操作, 每次可从任意\(\small{\leq}\)k堆中取出任意多>0的石子, 无法操作者输.

• 结论：P-position为在二进制下，每一位上的1的个数和mod (k+1)都为0.
• 证明：

1. terminal position，即石子数都为0，为P-position.
2. 若当前为N-position，即存在某一位上的1的个数和mod (k+1)不为0，从高位往低位确定每堆石子取的个数.
   假设已经使前i-1上的1的个数和mod (k+1)=0，现在考虑第i位.
   对于已经改变的m堆，当前位可以自由选择变与不变（不会增加取的堆数）.
   记n为除已经改变的m堆外，当前位为1的堆数mod (k+1)的值.
   若n+m\(\leq\)k，则直接全取这n+m堆这一位的1，m=n+m. 此时转移到了某个P-position.
   否则，n+m>k即n+m\(\geq\)k+1，此时n\(\geq\)k+1-m，在这m堆中，留k+1-n堆这一位的1，其余1全取走. 此时转移到了某个P-position.
3. 若当前为P-position，即每一位上的1的个数和mod (k+1)都为0，则无论怎么取，取后必存在某一位上的1的个数和mod (k+1)不为0，即不可能转移到别的P-position.

Bash Game

n堆石子,两个人轮流操作,每次可从任意一堆中取出[1,m]个石子,无法操作者输.

• 结论：P-position为所有石子数\(mod\;(m+1)\)后的异或和=0.

• 证明：

1. terminal position，即石子数都为0，为P-position.

2. 若当前为N-position，即异或和k（设最高位为x）不为0，则必存在石子数\(a_i\;mod\;(m+1)\)的位x为1，满足\(a_i\;mod\;(m+1)\;xor\;k<a_i\).
   取\(a_i-a_i\;mod\;(m+1)\;xor\;k\)即可.

   \(\begin{aligned}&(a_1\;mod\;(m+1))\;xor...xor\;(a_i\;mod\;(m+1)\;xor\;k)\;xor...xor\;(a_n\;mod\;(m+1))\\=&(a_1\;mod\;(m+1))\;xor...xor\;(a_i\;mod\;(m+1))\;xor...xor\;(a_n\;mod\;(m+1))\;xor\;k\\=&k\;xor\;k\\=&0\end{aligned}\)

   转移到了某个P-position.

3. 若当前为P-position，即异或和为0，则无论怎么取，取后异或和必不为0，即不可能转移到别的P-position.

Staircase Nim

n阶台阶, 每次可以从一个台阶上拿掉任意数量石子放到下一层台阶, 无法操作者输（第1级可以往地面上放）.

• 结论：P-position为所有奇数级的石子数的异或和=0.
• 证明：

1. terminal position，即所有石子都在第0级，奇数级石子数异或和为0，为P-position.
2. 若当前为N-position，即若当前奇数级异或和不为0，则必存在奇数级石子数\(a_i\)的位x为1，满足\(a_i\;xor\;k<a_i\). 取\(a_i-a_i\;xor\;k\)即可转移到某个P-position.
3. 若当前为P-position，即若当前奇数级异或和为0，则移奇数级到偶数级后，奇数级异或和不为0，即不可能转移到别的P-position.

Anti Nim

n堆石子, 两个人轮流操作, 每次可从任意一堆中取出任意多>0的石子, 取走最后一颗石子的人输.

• 结论：N-Position为以下两种情况之一：
  1. 所有堆石子数都为1且堆数为偶数
  2. 存在某堆石子数大于1且石子堆的异或和≠0
• 证明 :

1. terminal position，即只剩一个石子数为1的堆，为P-position.
2. 若当前为N-position，
   1. 若所有堆石子数都为1且堆数为偶数，任取一堆即可转移到某个P-position.
   2. 若存在某堆石子数大于1且石子堆的异或和≠0，参考Nim Game，可转移到某个P-position.
3. 若当前为P-position，
   1. 若所有堆石子数都为1且堆数为奇数，无论取哪堆都会转移到某个N-position，即不可能转移到别的P-position.
   2. 若存在某堆石子数大于1且石子堆的异或和=0，由异或和=0得至少存在两堆得石子数>1. 无论取哪堆都会使石子堆的异或和≠0（转移到某个N-position），即不可能转移到别的P-position.

2017-10-25 20:40:09