srppath笔记

Knapp 和 Cater 提出的广义互相关（Generalized Cross-Correlation , GCC）算法是最常用的TDOA估计方法。

1.1 问题背景

考虑只有两个传感器，即\(N=2\) 的单源自由场模型。

两个麦克风之间的TDOA估计可以等效为能够使麦克风输出的滤波信号之间的互相关函数（Cross-Correlation Function，CCF）最大的时间间隔（这称为广义CCF（Generalized CCF,GCCF））:

\[\hat{\tau}^{GCC} = \arg \max_{\tau} r_{y_1y_2}^{GCC}(p)\tag{1} \]

式中

\[\begin{align} r_{y_1y_2}^{GCC}(p) &= F^{-1}[\Psi_{y_1y_2}(f)]\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \Psi_{y_1y_2}(f)e^{j2\pi f p}\rm{d}f \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \delta(f)\phi_{y_1y_2}(f)e^{j2\pi f p}\rm{d}f \end{align}\tag{2} \]

为GCC函数，\(F^{-1}[\cdot]\) 表示离散傅立叶逆变换（IDTFT）。

\[\phi_{y_1y_2}(f) = E[Y_1(f)Y_2^ * (f)]\tag{3} \]

为互频谱，且

\[Y_n(f) = \sum_{k} y_n(k) e^{-j2\pi f k},n=1,2 \tag{4} \]

\(\delta(f)\) 为频域加权函数；

\[\Psi_{y_1y_2}(f)= \delta(f)\phi_{y_1y_2}(f)\tag{5} \]

为广义互频谱。

对于频域加权系数\(\delta(f)\) 有不同的选择，对应不同的GCC方法。

相位变换（PHAT加权）

通过GCC函数的定义，可以看出TDOA的估计信息是通过互频谱的相位而不是幅值来表示的。因此，可以简单地舍弃幅度而仅保留相位。

\[\delta(f) = \frac{1}{|\phi_{y_1y_2}(f)|}\tag{6} \]

得到相位变换（Phrase Transform，PHAT）方法。广义互频谱为

\[\Psi_{y_1y_2}^{PHAT}(f) = e^{-j2\pi f \tau}\tag{6} \]

仅依赖于TDOA \(\tau\) ；

此时，理想GCC函数：

\[r_{y_1y_2}^{PHAT}(p) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi f(p-\tau)}\rm{d} f= \begin{cases} \infty, p=\tau \\ 0, 其它 \end{cases} \tag{7} \]

GCC方法具有很短的判决时延，因此具有好的跟踪能力。在噪声强度中等且无混响环境下表现非常好。但当房间混响较高时，可能会失效，这是因为GCC方法将周围声学环境建模为一个理想自由场模型，因此在处理房间混响时有根本性的弱点。

附录

1. 关于公式2的理解：

信号相关于功率谱密度（power spectral density, PSD）是一个傅立叶变换对。(1)
因此对互谱（互功率谱密度，cross-power spectrum）进行傅立叶逆变换，计算互相关函数。这里另外使用PATH方法，即normalize PSD，得到广义互谱，经过傅立叶逆变换后，得到广义互相关函数。(2)

2. 关于离散信号的互功率谱的计算：

主要有直接法和自相关法两种方法(3)，这里使用直接法，因为我们就是功率谱估计信号相关的.....
自功率谱密度：

\[ S_x(\omega) = \lim_{T\rightarrow \infty}\frac{E[|F_x(\omega,T)|^2]}{2T} \]

\[ S_{xy}(\omega) = \lim_{T\rightarrow \infty}\frac{E[F^*_x(\omega,T)F_y(w,T)]}{2T} \]

参考链接

1. GCC-PHAT算法 https://blog.csdn.net/yq_forever/article/details/103754000
2. 功率信号，能量信号，信号的频谱，功率谱密度，频谱密度，能量谱密度，自相关函数，互相关函数 https://blog.csdn.net/weixin_40106401/article/details/106381429
3. 估计信号的自/互功率谱密度方法 https://zhuanlan.zhihu.com/p/390104171