约数之和

题目描述

假设现在有两个自然数A和B，S是(A^B)的所有约数之和。

请你求出S mod 9901的值是多少。

输入格式

在一行中输入用空格隔开的两个整数A和B。

输出格式

输出一个整数，代表S mod 9901的值。

数据范围

0(leq) A,B (leq) 5*(10^7)

输入样例

2 3

输出样例

15

注意: A和B不会同时为0。

思路

我们首先了解一下约数和定理。对这个定理不太了解的同学可以先点击这里了解一下：约数和定理
由我们已经知道的约数和定理可以知道。当A=p1^k1+p2k2+p3^k3+...+pnkn 时。
那么A的所有的约数之和就是(根据高中学习的乘法原理)
f(A)=(p1^0+p11+...+p1^k1)*(p20+p2^1+...+p2k2)*...*(pn^0+pn1+...+pn^kn)。
那么同理我们也可以求出(A^B)的约数之和。
因为
(A^B)=p1^(k1*B)*p2(k2*B)*p3^{(k3*B)*...*pn}(kn*B)
具体原因大家可以仔细想想，不难理解。
其中代码中的quick函数是快速幂函数。
对这个不是很理解的同学可以看一下我的这篇文章来学习一下:快速幂||取余运算

递归C++ 代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int mod = 9901;
int quick(int p, int k)
{
	p = p % mod;
	if (k == 0)  return 1;
	int res = 1;
	while (k)
	{
		if (k & 1)
			res = (res * p) % mod;
		k = k >> 1;
		p = (p * p) % mod;
	}
	return res%mod;
}
int sum(int p, int k)
{
	if (k == 0)
		return 1;
	if ((k & 1) == 0)//k为偶数的情况下
		return ((sum(p, k - 1) % mod) * p+1) % mod;
	//k为奇数的情况下
	return  (((quick(p, k / 2 + 1) + 1) % mod) * (sum(p, k / 2) % mod)) % mod;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	int A, B;
	cin >> A >> B;
	int res = 1;
	for (int p = 2;p <= A;p++)//对A分解质因数
	{
		int k = 0;
		while (A % p == 0)
		{
			k++;
			A /= p;
		}
		if(k)
		res = res * sum(p%mod, k * B)%mod;
		//注意:这里为什么要乘B，因为我们计算的是A^B%mod的值.
		//举个例子:A=p1^k1+p2^k2+p3^k3+...+pn^kn。
		//那么则有:A^B=p1^(k1*B)+p2^(k2*B)+p3^(k3*B)+...+pn^(kn*B)。
		//具体原因大家可以仔细想想，不难理解
	}
	cout << res << endl;
	return 0;
}