2020牛客寒假算法基础集训营6 I.导航系统 (最小生成树)

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/3007/I

题中给定的图必定是一棵树　　　　

容易发现，如果将输入的N(N-1)个距离看做N(N-1)条无向边的话，那么如果数据合法，原树就是这张新图的最小生成树。

证明：由于边权是非负的，可以考虑Kruskal算法的过程，每一次引入的边都是尽可能短的，所以一定是树中的边，通过简单的归纳即证。

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 505;
int n,m,s,cnt;
struct edge{
    int from,to,w;
    bool operator < (const edge &b) const{
        return w < b.w;
    }
}e[maxn*maxn];
struct node{
    int u,v,w;
    bool operator < (const node &b) const{
        return w<b.w;
    }
};
struct Node{
    vector<int> v;
    vector<int> w;
}g[maxn];
int fa[maxn],dis[maxn][maxn];
vector<node> ans;
int get(int x){
    if(x == fa[x]) return x;
    return fa[x] = get(fa[x]);
}
void merge(int x,int y){
    int u = get(x),v = get(y);
    if(u == v) return;
    fa[u] = v;
}
void kruskal(){
    sort(e+1,e+1+m);
    for(int i = 1;i<=n;i++) fa[i] = i;
    for(int i = 1;i<=m;i++){
        int x = get(e[i].from );
        int y = get(e[i].to );
        if(x == y) continue;
        merge(x,y);
        ans.push_back({e[i].from,e[i].to,e[i].w});
    }
}
void addedge(int x,int y,int c){
    e[cnt].from = x,e[cnt].to = y,e[cnt].w = c;
    cnt++;
}
int vis[maxn],siz[maxn];
void dfs(int cur,int pos){//只需求出一个点到各个点的最小距离即可进行判断
    vis[cur] = 1;
    siz[cur] = pos;
    for(int i = 0;i<g[cur].v.size();i++){
        int v = g[cur].v[i];
        if(!vis[v]) dfs(v,pos+g[cur].w[i]);
    }
}
int main(){
    cin>>n;
    m = n*(n-1),cnt = 1;;
    for(int i = 1;i<=n;i++){
        for(int j = 1;j<=n;j++){
            cin>>dis[i][j];
            if(i == j) continue;
            addedge(i,j,dis[i][j]);
        }
    }
    kruskal();
    for(int i = 0;i<ans.size();i++){//建一个新图
        node t = ans[i];
        g[t.u].v.push_back(t.v);
        g[t.v].v.push_back(t.u);
        g[t.u].w.push_back(t.w);
        g[t.v].w.push_back(t.w);
    }
    for(int i = 1;i<=n;i++){
        if(g[i].v.size() == 1 ) {
            s = i;break;
        }
    }
    dfs(s,0);
    for(int i = 1;i<=n;i++){
        if(siz[i]!=dis[s][i]){
            cout<<"No";return 0;
        }
    }
    sort(ans.begin(),ans.end());
    cout<<"Yes"<<endl;
    for(int i = 0;i<ans.size();i++){
        cout<<ans[i].w<<endl;
    }
    return 0;
}