14.1 SVD的应用
特点：
利用SVD能够用小得多的数据集来表示原始数据集。
优点：简化数据，去除噪声，提高算法的结果。
缺点：数据的转换可能难以理解。
隐性语义索引（LSI）
利用SVD的方法为隐性语义索引（Latent Semantic Indexing, LSI）或隐性语义分析（Latent Semantic Analysis, LSA）。在LSI中，一个矩阵是由文档和词语组成的，应用SVD时，会构建出多个奇异值，其代表了文档中的概念或主题。
推荐系统
上述矩阵由餐馆的菜和品菜师对这些菜的意见构成的。品菜师采用1到5之间的任意一个整数来对菜评级，如果品菜师没有尝过某道菜，则评级为0。对上述矩阵进行SVD分解，会得到两个奇异值（注意其特征值位2），也即仿佛有两个概念或主题与此数据集相关联。
14.2 矩阵分解
在很多情况下,数据中的一小段携带了数据集中的大部分信息,其他信息则要么是噪声,要么就是毫不相关的信息。在线性代数中还有很多矩阵分解技术。 矩阵分解可以将原始矩阵表示成新的易于处理的形式。
SVD将原始数据集矩阵Data分解成三个矩阵U,sigma,V.T。（分解为多个矩阵的乘积）
Figure 14-1: SVD矩阵分解公式
分解出来的sigma矩阵为对角阵，对角元素从大到小排列，称之为奇异值（Singular Value），奇异值和特征值是有关系的，这些奇异值为Data*Data.T特征值的平方根。且若是Data的秩为r，则奇异值的个数为r个，也即数据集中仅有r个重要特征。
sigma矩阵只有从大到小排列的元素，在科学和工程中的一个事实：在某个奇异值的特征数目（N个）之后，其他的奇异值置为0
14.3 利用python实现SVD
python numpy包里有linalg的线性代数工具箱，其有包括处理svd分解函数。
奇异值分解代码：
#!/usr/bin/env python # coding=utf-8 from numpy import * from numpy import linalg as la def loadExData(): return [[1,1,1,0,0], [2,2,2,0,0], [5,5,5,0,0], [1,1,0,2,2], [0,0,0,3,3], [0,0,0,1,1]] Data = loadExData() U,Sigma,VT = la.svd(Data) Sig3 = mat([[Sigma[0],0,0],[0,Sigma[1],0],[0,0,Sigma[2]]])#由于Sigma是以向量的形式存储，故需要将其转为矩阵， #利用numpy的diag函数，直接Sig3 = np.diag(Sigma)[:3,:3]即可，diag将行向量转为矩阵，值放在对角线上,并取前面3行3列 print Sigma print U[:,:3]*Sig3*VT[:3,:]#重构原始矩阵
保留奇异值的数目：
- 保留矩阵中90%的能量信息。将所有的奇异值求平方和，将奇异值平方和累加到总值的90%为止。（如何累加）
- 保留上万奇异值中的前面2000到3000个。
14.4 基于协同过滤的推荐引擎
协同过滤通过将用户和其他用户的数据进行对比来实现推荐的。
当知道了两个用户或者两个物品之间的相似度，我们就可以利用已有的数据来预测未知的用户喜好。
唯一所需要的数学方法就是相似度的计算。
相似度计算：
Figure 14-4: 用于展示相似度计算的简单矩阵
手撕猪肉与鳗鱼饭的欧式距离：
相似度化为0到1之间：相似度=1/(1+距离)。
皮尔逊相关系数（Pearson correlation）：
由numpy包中corrcoef()函数计算，化为0到1之间：0.5+0.5*corrcoef()。
余弦相似度（cosine similarity）：
相似度计算代码：
#利用欧氏距离计算相似度 #linalg.norm(inA - inB)计算范数，及平方和再开方 def ecludSim(inA,inB): return 1.0/(1.0 + la.norm(inA - inB)) #皮尔逊相关系数计算相似度 优点是对用户评价的量级不敏感 #corrcoef(a)是用来计算相关系数矩阵 #corrcoef(a,b)是用来计算相关系数矩阵 def pearsSim(inA,inB): if len(inA) < 3 : return 1.0 #计算系数并把范围从-1--+1转换为0--1 return 0.5+0.5*corrcoef(inA, inB, rowvar = 0)[0][1] #计算余弦相似度 def cosSim(inA,inB): num = float(inA.T*inB) denom = la.norm(inA)*la.norm(inB) #计算系数并把范围从-1--+1转换为0--1 return 0.5+0.5*(num/denom)
基于物品的相似度还是基于用户的相似度
行与行之间比较的是基于用户的相似度，列与列之间比较的则是基于物品的相似度。基于物品相似度计算的时间会随物品数量的增加而增加，基于用户的相似度计算的时间则会随用户数量的增加而增加。如果用户的数目很多，那么我们可能倾向于使用基于物品相似度的计算方法。对于大部分产品导向的推荐系统而言，用户的数量往往大于物品的数量，即购买商品的用户数会多于出售的商品种类。
推荐系统的评价
我们将某些已知的评分值去掉，然后对它们进行预测，最后计算预测值与真实值之间的差异。通常使用的指标为最小均方根误差（Root Mean Squared Error, RMSE）。
14.5 示例：餐馆菜肴推荐引擎
推荐未尝过的菜肴
过程：给定一个用户，系统会为此用户返回N个最好的推荐菜。需要：
- 寻找用户没有评分的菜肴，即在用户-物品矩阵中的0值。
- 在用户没有评分的所有物品中，对每个物品预计一个可能的评分数。
- 对这些物品的评分从高到低进行排序，返回前N个物品。
代码如下：
#用户对物品的评分估计值（数据集，用户编号，相似度计算方法，物品编号） def standEst(dataMat, user, simMeas, item): #矩阵的列数 也就是物品数量 n = shape(dataMat)[1] #估计评分值初始化 simTotal = 0.0; ratSimTotal = 0.0 #对给定用户 for j in range(n): #某个用户对某个物品的评分 userRating = dataMat[user,j] #如果某个物品的评分值为0，没有评分 跳过这个物品 if userRating == 0: continue #nonzeros(a)返回数组a中值不为零的元素的下标 #logical_and (逻辑与) #给出两个物品中已经被评分的那个元素，有没有重合 overLap = nonzero(logical_and(dataMat[:,item].A>0,dataMat[:,j].A>0))[0] if len(overLap) == 0: #如果没有重叠 相似度为零并且终止本次循环 similarity = 0 else: #如果有重叠 计算相似度 similarity = simMeas(dataMat[overLap,item],dataMat[overLap,j]) print ('the %d and %d similarity is: %f' % (item, j, similarity)) #相似度的累加 simTotal += similarity #相似度和当前用户评分的乘积 ratSimTotal += similarity * userRating if simTotal == 0: return 0 else: return ratSimTotal/simTotal #对相似度评分的乘积进行归一化 评分值在0--5之间 #推荐引擎 产生推荐最高的N个结果 #（数据矩阵，用户，推荐个数，相似度计算方法，评分估计值） def recommend(dataMat, user, N=3, simMeas=cosSim, estMethod=standEst): #建立一个未评分的物品列表 unratedItems = nonzero(dataMat[user,:].A==0)[1] #如果不存在未评分物品 则退出 if len(unratedItems) == 0: return 'you rated everything' itemScores = [] #否则 在所有未评分物品上循环，对每个物品评分 for item in unratedItems: #对未评分物品评分 estimatedScore = estMethod(dataMat, user, simMeas, item) itemScores.append((item, estimatedScore)) #返回排序后的列表 反转以后的 从大到小 return sorted(itemScores, key=lambda jj: jj[1], reverse=True)[:N]
利用SVD进提高推荐的效果
计算在奇异值的总能量，了解其到底需要多少维特征。
代码：
def loadExData2(): return [[0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 5], [0, 0, 0, 3, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 3], [0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 1, 0, 4, 0], [3, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0], [5, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 0, 0, 5, 0], [4, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 1], [0, 0, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4], [0, 0, 0, 2, 0, 2, 5, 0, 0, 1, 2], [0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 4, 0], [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0]] U,Sigma,VT = la.svd(mat(loadExData2())) print Sigma Sig2 = Sigma**2 print Sig2 print sum(Sig2)*0.9 print sum(Sig2[:2]) print sum(Sig2[:3])
计算得到需要3个特征
代码：
#基于svd的评分估计值 #（数据集，用户编号，相似度计算方法，物品编号） def svdEst(dataMat, user, simMeas, item): #矩阵的列数 也就是物品数量 n = shape(dataMat)[1] #估计评分值初始化 simTotal = 0.0; ratSimTotal = 0.0 #奇异值分解 只利用包含90%能量的奇异值 U,Sigma,VT = la.svd(dataMat) #用奇异值构建出一个对角矩阵 Sig4 = mat(eye(4)*Sigma[:4]) #用U矩阵将物品转换到低维空间中 xformedItems = dataMat.T * U[:,:4] * Sig4.I #create transformed items #对给定用户 for j in range(n): #某个用户对某个物品的评分 userRating = dataMat[user,j] #如果某个物品的评分值为0，没有评分 跳过这个物品 if userRating == 0 or j==item: continue similarity = simMeas(xformedItems[item,:].T, xformedItems[j,:].T) print ('the %d and %d similarity is: %f' % (item, j, similarity)) #相似度的累加 simTotal += similarity #相似度和当前用户评分的乘积 ratSimTotal += similarity * userRating if simTotal == 0: return 0 else: return ratSimTotal/simTotal #对相似度评分的乘积进行归一化 评分值在0--5之间
14.7小结
SVD是一种强大的降维工具，可以利用SVD来逼近矩阵并从中提取重要特征，保留矩阵80%-90%的能量，得到重要的特征去掉噪音。推荐系统为SVD的一个成功的应用，协同过滤则是一种基于用户喜好或行为数据的推荐的实现方法。协同过滤的核心是相似度计算方法。