经典 Nim 游戏，sg 函数与 sg 定理

目录

• 0. 前置芝士
• 1. 楔子
  • 1.1. 问题
  • 1.2. 结论
    • 1.2.1. 内容
    • 1.2.2. 证明
• 2. $ ext{Sprague-Grundy}$ 函数
  • 2.1. 定义
• 3. $ ext{Sprague-Grundy}$ 定理
  • 3.1. 内容
  • 3.2. 证明
• 4. 例题
  • 4.1. $sf Interval Game 2$

0. 前置芝士

定义状态

( ext{P})：表示当前局面下先手必败。

( ext{N})：表示当前局面下先手必胜。

( ext{N,P}) 状态的转移满足如下性质：

1. 合法操作集合为空的局面为 ( ext{P})。

2. 可以移动到 ( ext{P}) 的局面为 ( ext{N})。

3. 所有移动只能到达 ( ext{N}) 的局面为 ( ext{P})。

1. 楔子

1.1. 问题

一共有 (n) 堆石子，第 (i) 堆中有 (a_i) 个石子。

每一次操作小 (mathtt{G}) 和小 (mathtt{D}) 可以从任意一堆石子中取出任意数量的石子，至少取一颗，至多取出这一堆剩下的所有石子。

两个人轮流行动，取走最后一个的人胜利。小 (mathtt{G}) 为先手。

1.2. 结论

1.2.1. 内容

对于局面 ((a_1,a_2,...,a_n))，它是 ( ext{P}) 局面当且仅当 (a_1 ext{xor} a_2 ext{xor}... ext{xor} a_n=0)。

1.2.2. 证明

容易发现只要满足以下三个条件即可：

1. 这个判断将最终态判为 ( ext{P}) 局面。显然最终态全零。
2. 根据这个判断被判为 ( ext{N}) 局面的局面一定可以移动到某个 ( ext{P}) 局面。设异或和为 (k)，则一定存在 (a_i)，其二进制表示在 (k) 的最高位上是 (1)。由于二进制较高位上的 (1) 表示的十进制一定大于位数较低位上的 (1) 表示的十进制之和，则 (a_i ext{xor} k< a_i)（异或 (k) 也不会影响 (a_i) 的更高位）。那么我们将 (a_i) 改成 (a_i ext{xor} k)，异或和就变成 (0) 了。
3. 根据这个判断被判为 ( ext{P}) 局面的局面无法移动到某个 ( ext{P}) 局面。异或和为 (0) 只能异或 (0) 即取 (0) 个石子，故无法移动到某个 ( ext{P}) 局面。

2. ( ext{Sprague-Grundy}) 函数

2.1. 定义

将 ( ext{ICG}) 的每个局面看成一个节点，对每个局面和它的子局面连一条有向边。这就转变成了在有向无环图上的移动游戏。

定义节点 (u) 的 ( ext{sg}) 函数为

[ ext{sg}(u)= ext{mex}{ ext{sg}(v) |v ext{ is a son of }u} ]

3. ( ext{Sprague-Grundy}) 定理

3.1. 内容

总游戏的 ( m sg) 函数值为它所包含的独立子游戏 ( m sg) 函数值的异或和。

3.2. 证明

实际上，这和上文取石子问题是一样的 —— 总游戏就是所有石子，独立子游戏就是一堆石子。

同上文判断方法，我们判断三个条件：

1. 这个判断将最终态判为 ( ext{P}) 局面。显然最终态即叶子节点为零。
2. 根据这个判断被判为 ( ext{N}) 局面的局面一定可以移动到某个 ( ext{P}) 局面。首先可以发现，当 ( ext{sg}(u)=k) 时，( ext{sg}(v)) 必包含区间 ([0,k)) 的每个数，这是不是和取石子游戏很相似？用上文证明方法即可。
3. 根据这个判断被判为 ( ext{P}) 局面的局面无法移动到某个 ( ext{P}) 局面。

4. 例题

上课五分钟。

“好了我把新课讲完了，接下来我们开始做题。”

4.1. (sf Interval Game 2)

设总游戏状态为 ([1,100))，代表所有区间都没有被选择。

接下来的问题在于是否能将总游戏状态划分成独立子游戏。显然如果我们每次选取区间 ([l_i,r_i))（即有向边），总游戏状态可以被划分成 ([1,l_i)cup [r_i,100))（即子局面）。

所以有：

[ ext{sg}(L,R)= ext{mex}{ ext{sg}(L,l_i) ext{ xor sg}(r_i,R)|[l_i,r_i)subseteq [L,R)} ]