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【问题描述】
小W发明了一个游戏，他在黑板上写出了一行数字a1，a2，…an，然后给你m个回合的机会，每回合你可以从中选择一个数擦去它，接着剩下来的每个数字ai都要递减一个值bi如此重复m个回合，所有你擦去的数字之和就是你所得到的分数。 小W和他的好朋友小Y玩了这个游戏，可是他发现，对于每个给出的an和bn序列，小Y的得分总是比他高。小W很不服气，想让你帮他算算，对于每个an和bn序列，可以得到的最大得分是多少。这样他就知道有没有可能超过小Y的得分。【输入格式】
输入文件game.in的第1行，一个整数n(1≤n≤200)，表示数字的个数。 第2行，一个整数m(1≤m≤n)，表示回合数。 接下来一行有n个不超过10000的正整数，a1，a2，…an，表示原始数字 最后一行有n个不超过500的正整数，b1，b2，…bn，表示每回合每个数字递减的值
【输出格式】
一个整数，表示最大可能的得分。结果输出到文件game.out。
Sample Input1
3 3 10 20 30 4 5 6
Sample Output1
47
【题解】
题意是这样的。无论你选什么数字。其他数字都会减去它相应的bi值，而不是说你选了数字k，然后其他数字减去bk。
这里我们要注意。可能我们擦掉的数字是一样的比如 1,2,3.
但是擦掉的顺序不同。结果也是不同的。
那应该如何选择顺序？
可以想象我们选择了a[i]和a[j],然后b[i] < b[j]。
那么我们要先选哪一个?
肯定是先选a[j]。因为我们可以避免a[j]在先选完a[i]之后减去较大的b[j]；
可以写出这样ans=a[i]+a[j]-b[x].这个x就是后选的那一个的下标。
显然我们要让b[x]最小。那就先选a[j]后选a[i]。这样我们减去的就是较小的b[i]了。
知道了选择的顺序。接下来就要解决选哪些的问题了。
虽然优先选择b[x]较大的。
但是如果有这样的
a[] 10 100000
b[] 1000 2
然后m=1.也就是说我们只能选一个。那我们肯定要选择a[2]了。
又或者
a[] 2000 200 10000
b[] 100 99 90
m=2时。我们也不能单纯地选择a[1],a[2]。而应该选择a[1],a[3]。
综上。我们得出这样一个算法。
先把a[]按照b[]的大小降序排序。
然后，设f[i][j]表示前i个数，擦掉了j个数字得到的最大值。
f[i][j] = max{f[i-1][j],f[i-1][j-1]+a[i]-(j-1)*b[i]);
这里之所以要减去(j-1)*b[i]。是因为当前选的a[i]是第j个擦掉的数字。也就是说之前的j-1
回合。它都没有被擦掉，所以要扣掉(j-1)个b[i]；
然后这个动态规划一定要在排完序之后做。
比如样例
3 3 10 20 30 4 5 6
如果我们不排序。
得到的f[1][1] = 6;
f[2][2] = f[1][1]+20-5*1 = 21;
f[3][3] = f[2][2] + 30-6*2 = 39;
而答案是47;
这里我们选择的也是1,2,3但是如果按照上面的方程。
我们是没有考虑到选择的顺序的。
也就是说到了a[3]这个决策的时候。
我们只会考虑以下3种顺序
a[1]->a[3];
a[1]->a[2]->a[3];
a[3];
因此。选择的顺序就显得尤为重要了。
这也是要排序的原因所在。
然后通过这个方程
f[i][j] = max{f[i-1][j],f[i-1][j-1]+a[i]-(j-1)*b[i]);
我们也可以看到。如果较小的b[i]放在比较靠后。减掉的会比较少。那相应的值也就更大了。
加深理解：
假如我们不将数组排序。
我们用dp选择出来的是一段序列c1,c2,c3,c4;
它是在不排序的基础上所能得到的最大值。
然后我们刚才讨论过。如果a[i],a[j]都选了，而b[i]<b[j]。
那我们一定是先选择a[j]的。所以我们可能要把这段序列排一下序。
把b[]大的放在前面。比如有序的序列可能变成c3,c2,c1,c4什么的。。
然后既然知道不管选什么都要按照b[]排序。那我们就在进行dp之前先排一下序。
这样才能保证其为最优的。(上面说的先dp后排序得出的不一定是最优值！我只是为了能让大家更好理解才说的)；
【代码】
#include <cstdio>
int n, m, a[201], b[201], f[201][201] = { 0 };
int min(int a, int b) //返回a和b中的较小值
{
return a < b ? a : b;
}
int max(int a, int b) //返回a和b中的较大值
{
return a > b ? a : b;
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
scanf("%d", &m);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &a[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &b[i]);
bool flag = false;
while (!flag) //按照b由大到小排序。冒泡排序
{
flag = true;
for (int i = 1;i <= n-1;i++)
if (b[i] < b[i + 1])
{
flag = false;
int t = a[i]; a[i] = a[i + 1]; a[i + 1] = t;//换的时候连同a要一起交换
t = b[i]; b[i] = b[i + 1]; b[i + 1] = t;
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)//进行dp
{
int maxj = min(i, m);//f[i][j]表示的是前i个数擦掉j个数的最大值
for (int j = 1; j <= maxj; j++) //j则不能超过i.但要到达m；
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - 1] + a[i] - b[i] * (j - 1));
}
printf("%d
", f[n][m]);//输出答案。
return 0;
}