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Description
LogLoader, Inc. is a company specialized in providing products for analyzing logs. While Ikki is working on graduation design, he is also engaged in an internship at LogLoader. Among his tasks, one is to write a module for manipulating time intervals, which have confused him a lot. Now he badly needs your help.
In discrete mathematics, you have studied several basic set operations, namely union, intersection, relative complementation and symmetric difference, which naturally apply to the specialization of sets as intervals.. For your quick reference they are summarized in the table below:
Operation Notation Definition
Union A ∪ B {x : x ∈ A or x ∈ B} Intersection A ∩ B {x : x ∈ A and x ∈ B} Relative complementation A − B {x : x ∈ A but x ∉ B} Symmetric difference A ⊕ B (A − B) ∪ (B − A)
Ikki has abstracted the interval operations emerging from his job as a tiny programming language. He wants you to implement an interpreter for him. The language maintains a set S, which starts out empty and is modified as specified by the following commands:
Command Semantics UTS ← S ∪ T ITS ← S ∩ T DTS ← S − T CTS ← T − S STS ← S ⊕ T
Input
The input contains exactly one test case, which consists of between 0 and 65,535 (inclusive) commands of the language. Each command occupies a single line and appears like
XT
where X is one of ‘U’, ‘I’, ‘D’, ‘C’ and ‘S’ and T is an interval in one of the forms (a,b), (a,b], [a,b) and [a,b] (a, b ∈ Z,
0 ≤ a ≤ b ≤ 65,535), which take their usual meanings. The commands are executed in the order they appear in the input.
End of file (EOF) indicates the end of input.
Output
Output the set S as it is after the last command is executed as the union of a minimal collection of disjoint intervals. The intervals should be printed on one line separated by single spaces and appear in increasing order of their endpoints. If S is
empty, just print “empty set” and nothing else.
Sample Input
U [1,5] D [3,3] S [2,4] C (1,5) I (2,3]
Sample Output
(2,3)
Source
【题解】
这题要用线段树来解。具体的解法：
U:因为是求并集。所以只要在原来S的基础上把(l,r)区间全部覆盖(置为1)就可以了。
I:求交集，X属于S，且X属于T，那只需要把除了(l,r)之外的所有区间都置为0就可以了。
D:X属于S，且X不属于T，则只要把(l,r)这个区间全部置为0就可以了。
C:X属于T，且X不属于S，这个有点麻烦，首先要把除了(l,r)的全部置为0,然后把(l,r)这段区间的0改为1,1改为0；这样才能满足要求；
S:其实S就是C+D的升级版。(X属于T且X不属于S)并上(X属于S且X不属于T)，前者和C一样，然后后者和D一样,那么就只要进行C的后半部分操作就可以了。即只要把(l,r)这段区间的0改为1,1改为0就行了。
具体的做法:
【1】
一开始读入数据的时候，不管读入的区间a,b的括号是怎么样的。
都先乘上2
然后如果左括号是开区间
则a++;
如果右括号是开区间。
则b--;
最后输出区间的时候如果端点是奇数则是开区间；
然后对于左端点除2再输出即可，对于右端点则需要先加上1再除2.
【2】
设cover[rt]表示rt这个节点所代表的区间是否在集合中。
如果
cover[rt]==1，表示rt这个节点所代表的区间全部在集合中。
cover[rt] == 0,表示rt这个节点所代表的区间全部都不在集合中。
cover[rt]==-1,表示rt这个节点所代表的区间不能一概而论(有些可能在，有些可能不在)。
设XOR[rt]表示rt这个节点是否要进行异或操作。
【3】
当发现rt这个节点所代表的区间在所需要覆盖的区间范围内的时候。
先查看一下操作是什么。
如果是覆盖操作(即全部置为0或全部置为1)，那么异或操作就没有意义了。
因为不管你之前怎么异或。我当前都只要把它改成一个特定的值了。
那么重新记录一下cover[rt]==需要覆盖的值。
然后XOR[rt]置为0，表示不需要再进行异或操作了。
然后如果是异或操作。
则需要看一下cover[rt]是不是-1，如果cover[rt]是-1,则说明这段区间没有被全部覆盖成相同的值。那么就只需要对XOR[rt]进行一下异或就行了。具体的如果XOR[rt]当前是1，就改为0，如果是0就改为1；
可以XOR[rt]^=1，又或者写成XOR[rt] = 1-XOR[rt];
然后如果cover[rt]不是-1，就说明这段区间被覆盖了相同的值。那么异或一下就可以了。
即cover[rt]^=1 (或者cover[rt]=1-cover[rt])；
然后直接退出当前的递归。
这些数据可以作为懒惰标记使用。
【4】
紧接着我们需要处理懒惰标记。
如果当前这个节点的cover值不为-1，就说明整个区间都会被覆盖成相同的值。那么这个时候异或标记是肯定为0的。因为如果cover标记存在，那么异或操作就不会对XOR数组进行操作了。这样的话，就只需要把两个儿子节点覆盖成和父亲节点一样的值就可以了。
然后把cover[rt]改为-1,表示下面已经不确定了。(因为如果访问了这个节点，我们可能就会对这个节点下面的部分进行修改了，不能够一概而论了。)；
然后如果这个节点的cover值为-1，就看一下异或标记是否大于0，如果大于0；
则对儿子节点进行相同的判断(判断是否cover[儿子]为-1....);然后把异或标记置为0；
【5】
还有一个问题就是如何把区间外的部分置为0?
可以这样
在进行成段更新的时候
m=(begin+end)>>1;
正常情况下我们这样写
if ( l <= m)
updata(l,r,num,begin,end,rt<<1);
if (m <r)
updata(l,r,num,m+1,end,rt<<1|1);
我们这样写是为了不断地逼近有交集的那个部分。
但是
if (l >m)
则说明，我们索要求的l,r区间完全在左儿子所代表的区间的右边。
那么我们就可以在特定需要的情况下进行一个操作即
cover[rt<<1] == 0,XOR[rt<<1] =0;
这样就完成了对不在所操作的区间内的区间的覆盖0问题；右儿子也同理。所以代码就变成这样了。
int m = (begin + end) >> 1;
if (l <= m)
updata(op, l, r, begin, m, rt << 1);
else
if (op == 'I' || op == 'C')
cover[rt << 1] = XOR[rt << 1] = 0;
if (m < r)
updata(op, l, r, m + 1, end, rt << 1 | 1);
else
if (op == 'I' || op == 'C')
cover[rt << 1 | 1] = XOR[rt << 1 | 1] = 0;
【代码】
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define maxn 65535*2 +1
int cover[786420], XOR[786420]; //786420 = 65535*3*4
bool bo[maxn +10];
void push_down(int rt)
{
if (cover[rt] != -1) //如果这个节点整个被覆盖了某个值
{
cover[rt << 1] = cover[rt << 1 | 1] = cover[rt];//那么就把覆盖的值整个往儿子们传递。
XOR[rt << 1] = XOR[rt << 1 | 1] = 0;//因为覆盖了值。所以之前的异或标记也就没有意义了。直接置为0；
cover[rt] = -1;//之后可能会对这个节点所代表的区间进行操作。所以它不再是确定的了。
} else //如果被覆盖了某个值，那么就不可能有异或标记的所以这里写的是else
if (XOR[rt] > 0) //如果这个节点所代表的区间需要被异或。
{
if (cover[rt << 1] != -1)//如果左区间被完全覆盖了某个值
cover[rt << 1] ^= 1;//那么就把覆盖的值异或
else
XOR[rt<<1] ^= 1;//如果没有被完全覆盖，则把异或标记异或一下。
if (cover[rt << 1 | 1] != -1)//右区间同理。
cover[rt << 1 | 1] ^= 1;
else
XOR[rt << 1 | 1] ^= 1;
XOR[rt] = 0;//然后这个节点的异或标记重置一下。
}
}
void updata(char op, int l, int r, int begin, int end, int rt) //操作符是op,当前节点rt所代表的区间是begin,end。然后
{//所要操作的区间是(l,r)；
if (l <= begin && end <= r) //如果这个节点的区间整个被覆盖在所需要操作的区间内。
{
if (op == 'U')//如果是并集操作
{
cover[rt] = 1;//直接把这一段覆盖为1
XOR[rt] = 0;
}
else
if (op == 'D')//如果是D操作，则直接把这段区间覆盖为0.x属于S且x不属于T
{
cover[rt] = 0;
XOR[rt] = 0;
}
else
if (op == 'C' || op == 'S') //这是两个需要把操作区间整个异或的操作。
{
if (cover[rt] != -1)//如果这个区间之前已经被整个覆盖了值。
cover[rt] ^= 1;//那么就直接在覆盖值上异或一下就可以了。
else//如果之前没有覆盖值。
XOR[rt] ^= 1;//那么就在它的异或标记上进行操作。
}
return;//进行标记之后就不要往下走了。直接结束。
}
push_down(rt);//处理这个节点的懒惰标记。
int m = (begin + end) >> 1;//取得中点
if (l <= m)//忘左逼近那个交集区间。
updata(op, l, r, begin, m, rt << 1);
else
if (op == 'I' || op == 'C') //如果左儿子所代表的区间完全不在所求的区间内，则按照操作判断是否置0。
cover[rt << 1] = XOR[rt << 1] = 0;
if (m < r)//往右逼近交集区间
updata(op, l, r, m + 1, end, rt << 1 | 1);
else
if (op == 'I' || op == 'C') //右儿子同理。
cover[rt << 1 | 1] = XOR[rt << 1 | 1] = 0;
}
void query(int l, int r, int rt)
{
if (cover[rt] == 1) //如果当前到的这个节点被完全覆盖了
{
for (int i = l; i <= r; i++)//就标记这个区间都在集合内。
bo[i] = true;
return;
}
else
if (cover[rt] == 0)//如果全部不覆盖则退出
return;//注意如果cover[rt]==-1，是不能退出的，还要往下找，找到能够一概而论的节点。
if (l == r) //如果左右断点都相同了则结束。
return;
push_down(rt);//处理懒惰标记什么的。
int m = (l + r) >> 1;
query(l, m, rt << 1);//往左往右递归。
query(m + 1, r, rt << 1 | 1);
}
int main()
{
char op, l, r;//操作符 左括号 右括号
int a, b;
cover[1] = XOR[1] = 0; //一开始整个区间都覆盖着0
while (~scanf("%c %c%d,%d%c
", &op, &l, &a, &b, &r)) //这个波浪号不能省略。不然会出错(不懂。。)
{
a = a << 1;b = b << 1;//先乘上2
if (l == '(')//如果左括号是开区间则加1，表示不能取到这个值。
a++;
if (r == ')')//右括号是开区间也同理，先减去1，注意我们已经先乘2了。
b--;
if (a > b) //如果右这种情况[a,b) ,a==b
{ //则所输入的集合是空集
if (op == 'I' || op == 'C') //因为这两种操作都是只有输入的集合里面的元素存在1，其他地方都是0.
cover[1] = XOR[1] = 0;//所以对于空集来说其他地方就都是0了。
}
else//如果满足a<=b,则是可以操作的
updata(op, a, b, 0, maxn, 1); //maxn就是输入的区间的端点范围*2+1;进行集合的操作即可。
}
memset(bo, false, sizeof(bo));//标记某个位置是否在集合内
query(0, maxn, 1);//进行询问。
int begin = -1, end;
bool haved = false;//haved用来判断是否要输出空格。。
for (int i = 0 ;i <= maxn;i++)//寻找到一个个的区间并输出
if (bo[i]) //如果这个点在集合内
{
if (begin == -1)//如果是起点就记录
begin = i;
end = i;
}
else
if (begin != -1)//如果遇到了一个不在集合内的点就判断是不是之前找到了连续的点组成了集合。
{
if (haved) printf(" ");//如果之前已经输出过答案了则要输出空格
haved = true;//记录已经找到一个集合了。
printf("%c%d,%d%c", begin & 1 ? '(' : '[', begin >> 1, (end + 1) >> 1, end & 1 ? ')' : ']');
begin = -1;//如果两端的端点某一个是奇数，则就是开区间，然后根据输入时的规则逆向想一下。然后除2就可以了。
}
if (!haved) //如果都没输出过集合。那就是空集了。
printf("empty set");
return 0;
}