【codeforces 538E】Demiurges Play Again

【题目链接】:http://codeforces.com/problemset/problem/538/E

【题意】

给你一棵树;
有两个人,分别从根节点开始,往叶子节点的方向走;
每个人每次只能走一个单位深度的距离;
两个人轮流进行;
每次从深度为i的节点走到深度为i+1的节点;
直到走到叶子节点为止;
走到叶子节点的时候,叶子节点上的标号(1..m)就是这个游戏的结果;
m为叶子节点个数
你作为幕后黑手,可以任意排列叶子节点上的标号;
(但是每个标号只能出现一次,也就是说叶子节点上的各个标号是1..n的一个排列);
第一个人走的时候,希望结果尽可能大,第二个人走的时候,希望结果尽可能小;
作为幕后黑手,你想知道,怎样安排叶子节点上的编号,可以使得结果最大,怎样安排,又会最小;
输出最大,最小值即可;

【题解】

先考虑幕后黑手想要最大值的情况;
设
cnt[x]表示以x为根节点的子树里面,有几个叶子节点;
dpmax[x]表示第一个人走到节点x能够获得1..cnt[x]中第几大的值;
dpmin[x]表示第二个人走到节点x能够获得1..cnt[x]中第几大的值;
则有
①dpmax[x]=min(dpmin[y]);y是x的儿子节点
这里的思路是,第一人想要最大值,而且,幕后黑手会帮他,则肯定会把最大的cnt[y]个数字,即cnt[x]-cnt[y]+1..cnt[x]这些数字都安排在以y为根的子树的叶子节点上;
然后我们知道,如果第二个人走到了y节点,他会取得第dpmin[y]大的数字,显然,你会想让这个dpmin[y]的值最小,这样取到的值就是最大的了;
②dpmin[x]=∑dpmax[y];y是x的儿子节点
这个地方比较难理解;
可以这样考虑;
我们已经知道y节点,第一个人走的时候他能在cnt[y]个叶子中获得第dpmax[y]大的叶子节点了;
既然这样,幕后黑手就有一个策略了,就是从1..cnt[x]中取最小的cnt[y]-dpmax[y]个数字填满那个以y为根节点的子树的叶子节点上的cnt[y]-dpmax[y]个位置;
对每个y节点都这么做;
即把小的数字全都拿去填,留下大的数字
然后把1..cnt[x]中没有被用到的数字填到剩下的位置就好;
这样,就能逼迫第二个人取得尽可能大的数字了,就算他想选小一点,也没得选了,他一定是只能获得第∑dpmax[y]大的数字了,这是最小的情况了;
这样,就能获得最大值了,即m-dpmax[1]+1
(m是整棵树的叶子节点个数,也即cnt[1])

---

如果幕后黑手想获得最小值;
可以把定义改一下;
dpmax[x]的定义,改成是第二个人第dpmax[x]小的;
dpmin[x]的定义,改成是第一个人第dpmin[x]小的;
可以发现也能用上面的转移类似地做;
上面说的那个求和的转移的理解就变为尽量把大的数字用来填,然后剩余小的数字,逼迫那个想让结果大的人,只能选择较小的数字
最后输出dpmin[1]就可以了;

【Number Of WA】

1

【反思】

数据范围记错了;
题的确难想…
但感觉受益颇多
做出来一道这样的题的快感和做出水题是不能比的;

【完整代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define LL long long
#define rep1(i,a,b) for (int i = a;i <= b;i++)
#define rep2(i,a,b) for (int i = a;i >= b;i--)
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define ms(x,y) memset(x,y,sizeof x)
#define Open() freopen("D:\rush.txt","r",stdin)
#define Close() ios::sync_with_stdio(0)

typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<LL,LL> pll;

const int dx[9] = {0,1,-1,0,0,-1,-1,1,1};
const int dy[9] = {0,0,0,-1,1,-1,1,-1,1};
const double pi = acos(-1.0);
const int N = 2e5;

vector <int> G[N];
int n,dpmin[N+100],dpmax[N+100],cnt[N+100],tot;

void dfs(int x){
    if (G[x].empty()){
        tot++;
        cnt[x] = 1;
        dpmin[x] = dpmax[x] = 1;
        return;
    }
    int temp = N+100,tsum = 0;
    for (int y:G[x]){
        dfs(y);
        cnt[x]+=cnt[y];
        temp = min(temp,dpmin[y]);
        tsum += dpmax[y];
    }
    dpmin[x] = tsum;
    dpmax[x] = temp;
}

int main(){
    //Open();
    //Close();
    scanf("%d",&n);
    rep1(i,1,n-1){
        int x,y;
        cin >> x >> y;
        G[x].pb(y);
    }
    dfs(1);
    printf("%d %d
",tot-dpmax[1]+1,dpmin[1]);
    return 0;
}