• 【Uva 1633】Dyslexic Gollum


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    Description

    输入正整数n和k(1≤n≤400,1≤k≤10),求长度为n的01串中有多少个不含长度至少 为k的回文连续子串。例如,n=k=3时只有4个串满足条件:001, 011, 100, 110。

    Solution

    状态压缩DP;
    我们在做DP的时候要保证;
    新添加的数,不会产生一个长度为k的回文子串;
    但这还不够;
    比如说
    k=4
    我们只保证不出现长度=4的回文子串是不是就能保证不会出现长度大于4的回文子串呢;
    其实不然;
    比如
    10001
    这是一个长度为5的回文子串;
    但是它无法在去除长度为4的回文子串的情况下剔除掉;
    因为
    1000被认为是合法的;
    下一次更新
    去除首1;
    只剩下000
    然后再加上一个1
    变成了0001
    也会认为是合法的;
    为什么呢?
    因为我们没有剔除掉长度为3的回文子串
    也即10001中间的3个0
    因为长度为k的回文子串是由最左和最右两边的两个字符,加上中间一个回文子串组成的;
    则只要我们能保证长度为k-2的回文子串没有出现;
    就能保证新加的字符,不会组成长度为k的回文子串;
    因此正确的做法应该是把长度为k和长度为k+1的回文子串都剔除掉;
    这样;
    长度为k+2,长度为k+3的回文子串也能剔除掉了;
    从而所有长度大于等于k的回文子串也都能剔除掉了;
    则设f[i][j]表示前i个数字,i-k..i这一段数字状态为j组成的符合要求的字符串的个数;
    第i个数字有0和1两种情况;
    分别枚举前一个状态是什么;
    加上这个数字之后;
    保证i-k+1..i不是回文子串且i-k..i也不是回文子串;
    满足要求则这个状态就是可推的;
    最后把f[n][0..2(k+1)1]求和一下;

    NumberOf WA

    1

    Reviw

    在做DP的时候;
    加上了一个字符;
    要确定,它是不是一定能符合题意;
    正确性要保证;
    不要推到了错误的状态;

    Code

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    #define lson l,m,rt<<1
    #define rson m+1,r,rt<<1|1
    #define LL long long
    #define rep1(i,a,b) for (int i = a;i <= b;i++)
    #define rep2(i,a,b) for (int i = a;i >= b;i--)
    #define mp make_pair
    #define pb push_back
    #define fi first
    #define se second
    #define ms(x,y) memset(x,y,sizeof x)
    #define ri(x) scanf("%d",&x)
    #define rl(x) scanf("%lld",&x)
    #define rs(x) scanf("%s",x+1)
    #define oi(x) printf("%d",x)
    #define ol(x) printf("%lld",x)
    #define oc putchar(' ')
    #define all(x) x.begin(),x.end()
    #define Open() freopen("F:\rush.txt","r",stdin)
    #define Close() ios::sync_with_stdio(0)
    
    typedef pair<int,int> pii;
    typedef pair<LL,LL> pll;
    
    const int dx[9] = {0,1,-1,0,0,-1,-1,1,1};
    const int dy[9] = {0,0,0,-1,1,-1,1,-1,1};
    const double pi = acos(-1.0);
    const int K = 11;
    const int M = 2048;
    const int N = 400;
    const int MOD = 1e9+7;
    
    bool ban[K+5][M+10];
    int two[K+10],dp[N+10][M+10];
    bool bo[N+10][M+10];
    
    bool ok(int k,int j){
        vector <int> v,v1;
        v.clear();
        rep1(i,1,k){
            v.pb(j%2);
            j>>=1;
        }
        v1 = v;
        reverse(all(v1));
        if (v1!=v)
            return false;
        else
            return true;
    }
    
    int main(){
        //Open();
        //Close();
        two[0] = 1;
        rep1(i,1,11) two[i] = two[i-1]*2;
    
        rep1(k,1,11){
            rep1(j,0,two[k]-1)
                if (ok(k,j))
                    ban[k][j] = true;
        }
    
        int T;
        ri(T);
        while (T--){
            int n,k;
            ri(n),ri(k);
    
            ms(dp,0),ms(bo,0);
            dp[0][0] = 1,bo[0][0] = true;
    
            rep1(i,0,k-2)
                rep1(j,0,two[k]-1)
                    if (bo[i][j]){
                        int x = (j<<1)&(two[k]-1);
                        //+0
                        bo[i+1][x] = 1;
                        dp[i+1][x] = (dp[i+1][x] + dp[i][j])%MOD;
                        //+1
                        x+=1;
                        bo[i+1][x] = 1;
                        dp[i+1][x] = (dp[i+1][x] + dp[i][j])%MOD;
                    }
    
            // i == k-1
                rep1(j,0,two[k]-1)
                    if (bo[k-1][j]){
                        int x = (j<<1)&(two[k]-1);
                        //+0
                        if (!ban[k][x]){
                            bo[k][x] = 1;
                            dp[k][x] = (dp[k][x] + dp[k-1][j])%MOD;
                        }
                        //+1
                        x+=1;
                        if (!ban[k][x]){
                            bo[k][x] = 1;
                            dp[k][x] = (dp[k][x] + dp[k-1][j])%MOD;
                        }
                    }
    
            rep1(i,k,n-1)
                rep1(j,0,two[k+1]-1)
                    if (bo[i][j]){
                        int x = (j<<1)&(two[k+1]-1);
                        int tx = x&(two[k]-1);
                        //+0
                        if (!ban[k][tx] && !ban[k+1][x]){
                            bo[i+1][x] = 1;
                            dp[i+1][x] = (dp[i+1][x] + dp[i][j])%MOD;
                        }
                        //+1
                        x+=1;
                        tx+=1;
                        if (!ban[k][tx] && !ban[k+1][x]){
                            bo[i+1][x] = 1;
                            dp[i+1][x] = (dp[i+1][x] + dp[i][j])%MOD;
                        }
                    }
    
            int ans = 0;
            rep1(i,0,two[k+1]-1)
                ans = (ans + dp[n][i])%MOD;
    
            oi(ans);puts("");
        }
        return 0;
    }
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