【2017 Multi-University Training Contest

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【题意】

询问n个点的完全k叉树，所有子树节点个数的异或总和为多少。

【题解】

考虑如下的一棵k=3叉树,假设这棵树恰好有n个节点.

因为满的k叉树,第i层的节点个数为k^(i-1);

则我们找到最大的d;

使得

k^0+k^1+..+k^(d-1) <=n

自此,我们会发现,整棵树可以分成若干个树的深度大小为d和d-1的满k叉树。

如上图,d=3,两个圈起来的,就是一个深度为3的满k叉树和一个深度为2的满k叉树。

当然,还可能会有一个子树,它不是满的k叉树。

如上图中没有被圈出来的部分.

深度大小为d的满k叉树的个数,可以用rest = n-(k^0+k^1+..+k^(d-1))算出来;

它的个数就是rest/num[d],(其中num[d]表示第d层的满k叉树的节点个数.)

就是每num[d]个最下边的那些点可以将一个深度为d-1的满k叉树组成深度为d的满k叉树。

然后看看rest%num[d]是不是为0.

如果不为0的话,就会有一棵子树不是满k叉树;

则肯定还有k-rest/num[d]-1棵是深度为d-1的满k叉树。

然后思考那个不是满k叉树的。

会发现.那棵子树的问题。仍然是我们最开始面临的问题。

是可以递归解决的!

获取那个子树的大小,然后递归解决就好!

(深度为d和深度为d-1的满k叉树的子树异或和,单独写一个dfs来做就好)

(不要忘记有多个子树,所以对应的答案要异或和子树的个数对应次数)

k=1的情况要单独处理。找规律就好。就是1^2^3..^n的值。。

(要注意根节点的儿子不够k个的情况。。那个时候就不用递归了,直接处理答案)

【错的次数】

0

【反思】

编程比较难。思路不难想。

【代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep1(i,a,b) for (int i = a;i <= b;i++)
#define rep2(i,a,b) for (int i = a;i >= b;i--)
#define ri(x) scanf("%d",&x)
#define rl(x) scanf("%lld",&x)
#define oi(x) printf("%d",x)
#define ol(x) printf("%lld",x)
#define os(x) printf(x)
#define LL long long

LL k,num[100],tot[100],ans;

LL f(LL x,LL y){
    if (y&1)
        return x;
    else
        return 0;
}

LL dfs(int d){
    LL now = 0,temp = 0;
    rep2(i,d,1){
        temp = temp*k + 1;
        now ^= f(temp,num[i]);
    }
    return now;
}

void solve(LL n){
    num[1] = 1,tot[1] = 1;
    int d = 1;
    while (1){
        d++;
        num[d] = num[d-1]*k;
        tot[d] = tot[d-1]+num[d];
        if (tot[d]>n) break;
    }
    d--;
    LL numdp1 = 0,numd = 0,rest = n-tot[d];
    if (d == 1 && rest <= k){
        ans ^= f(1,rest);
        ans ^= n;
        return;
    }
    numdp1 = rest/num[d],numd = k - numdp1 - 1;
    LL trest = rest%num[d];

    ans ^= f(dfs(d),numdp1);

    LL temp1 = dfs(d-1);
    ans ^= f(temp1,numd);

    if (trest==0)
        ans ^= temp1;
     else
        solve(trest+tot[d-1]);

    ans ^= n;
}

int main(){
    //freopen("D:\rush.txt","r",stdin);
    int T;
    ri(T);
    while (T--){
        LL n;
        rl(n),rl(k);
        ans = 0;
        if (k==1){
            n--;
            if (n%4==0) ans = 1;
            if (n%4==1) ans = n + 2;
            if (n%4==2) ans = 0;
            if (n%4==3) ans = n+1;
        }else
            solve(n);
        ol(ans);puts("");
    }
    return 0;
}