CDW数学小笔记

今天我们来做一道题目。

输入正整数(n)((le 10^{15}))，求(x^2+y^2=n^2)的整数解的个数。

也就是圆心为原点，半径为(n)的圆上整点的数量。

为了得到更普遍的结论，我们改为(x^2+y^2=n)来做。

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我们引入一个概念，叫做

【定义1】高斯整数：形如(a+bi)的数称为高斯整数，其中(a,bin Z,i=sqrt{-1})。

于是就转化为了求((a+bi)(a-bi)=n)中(a,b)的数量。

注意到(n,a+bi,a-bi)都是高斯整数，就联想到对高斯整数(n)进行质因数分解。

【定义2】高斯素数：高斯整数中，不能分解为两个高斯整数的乘积（(1,-1,i,-i)除外）的，称为高斯素数。

至于为什么(1,-1,i,-i)除外，就像整数分解中(1,-1)除外一样，因为这些东西是单位元，对分解形式没有什么大的影响，所以就去除了。

如何对整数(n)进行高斯素数的分解呢？注意到(n=p_1p_2ldots p_k)有唯一分解形式，只要考虑质数(p)如何进行高斯素数的分解。于是就有了

【定理1】（费马二平方和定理） 对于质数(p)，若(pequiv 1(mathrm{mod} 4))或(p=2)，则(x^2+y^2=p)有一个正整数解；若(pequiv 3(mathrm{mod} 4))，则(x^2+y^2=p)无正整数解。

举个栗子，(5=(2+i)(2-i),17=(4+i)(4-i),13=(3+2i)(3-2i))，而(3,7,31)这些素数无法分为两个共轭的高斯整数的乘积。

（这个定理的证明被鸽掉了，大家当结论用吧）

也就是说，(25=5^2=(2+i)(2-i)(2+i)(2-i))，那么如何计算(25=(a+bi)(a-bi))的解的数量呢？我们把质因子分为两个元素个数相等的可重集合(A,B)，其中满足(zin ARightarrow ar{z}in B)，也就是(A,B)中的元素对应互相共轭，则令(Z=prod_{zin A}z)，则(ar{Z}=prod_{zin A}ar{z}=prod_{zin B}z)，所以(n=Z imes ar{Z})，令(a+bi=Z)即可。

也就是说一种(A,B)的分配方法对应了一组整数解，注意到如果(A)中有(a)个(2+i)，那么(B)中有(2-a)个(2+i)，有(a)个(2-i)，(A)中有(2-a)个(2+i)，所以共有3组整数解。。。

吗？

枚举一下就发现实际上是(12)组整数解，因为上面我们将(1,-1,i,-i)除去了，实际上我们可以对其中一个数乘上(1,-1,i,-i)，另一个数对应地乘上(1,-1,-i,i)，于是还应该乘上4倍。

再来看看(75=3*5^2=3(2+i)(2-i))，发现无论(3)放到哪里都是不行的，因为对面也要有一个(3)。所以(x^2+y^2=75)没有整数解。

再来看看(50=2*5^2=(1+i)(1-i)(2+i)(2-i))，根据刚才的计算方法，我们可以在左边放(a)个(1+i)，(b)个(2+i)，其中(0le a,ble 1)，则有(4)种，再乘上(4)就是(16)个整数解。。。

吗？

枚举一下就发现实际上是(8)组整数解，因为上面我们要乘上(4)是因为可以对其中的数乘上(1,-1,i,-i)，但是我们发现(1+i=i(1-i))，所以(1+i)和(1-i)放在哪里并没有关系，所以(n)中(2)的质因子个数对答案没有影响。应该忽略就可以了。

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现在我们总结一下(n=2^ap_1^{a_1}p_2^{a_2}ldots p_k^{a_k})，则根据上面的讨论，(2^a)对答案没有贡献，如果(p_iequiv 1(mathrm{mod} 4))则对答案有(a_i+1)的贡献，如果(p_iequiv 3(mathrm{mod} 4))，若(2|a_i)则对答案没有贡献，否则对答案有(0)的贡献（无解），乘起来得到的再乘上(4)就是最后答案。

现在我们已经能做出来这道题了，对(n^2)进行质因数分解，然后直接套公式就可以做出来了。

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众所周知，与圆周率(pi)有关的有一堆的公式，我们今天算的是圆上的整点个数，所以我们讨论一下它和(pi)的关系。

注意到半径为(R)的圆面积(pi R^2)近似于内部的整点个数，我们用这个来计算(pi)，而且(R)越大算的就越精确（误差是(O(R))级别而面积是(O(R^2))级别的）。

虽然上面的结论已经非常简洁了，但是做这道题我们还需要再进行简化一下。我们引入

【定义3】我们定义数论函数(chi(n))，其中

[chi(n)=egin{cases}1 & (nequiv 1(mathrm{mod} 4)) \ -1 & (nequiv 3(mathrm{mod} 4)) \ 0 & (2|n)end{cases} ]

所以(chi(n))是一个完全积性函数，而且

[egin{aligned} chi(1)+chi(5)+chi(5^2)+chi(5^3)&=4 \ chi(1)+chi(3)+chi(3^2)+chi(3^3)&=0 \ chi(1)+chi(3)+chi(3^2)+chi(3^3)+chi(3^4)&=1 \ chi(1)+chi(2)+chi(2^2)+chi(2^3)&=1 end{aligned} ]

整明白点儿啥没？

(x^2+y^2=n)的整数解的数量（除以4）为

[egin{aligned} &(chi(1)+chi(p_1)+chi(p_1^2)+ldots+chi(p_1^{a_1})) imes \ &(chi(1)+chi(p_2)+chi(p_2^2)+ldots+chi(p_2^{a_2})) imes \ &ldots \ &(chi(1)+chi(p_k)+chi(p_k^2)+ldots+chi(p_k^{a_k})) \ =&sum_{0le b_ile a_i}prod_{i=1}^kchi(p_i^{b_i}) \ =&sum_{0le b_ile a_i}chi(prod_{i=1}^k p_i^{b_i}) \ =&sum_{d|n}chi(d) end{aligned} ]

【定理2】(x^2+y^2=n)的整数解的数量为(4sum_{d|n}chi(d))。

圆内整点的数量实际上就是同心且比它小的所有圆经过的整点数量，我们设(R^2=n)。

[egin{aligned} frac{pi}{4}&=lim_{n ightarrow +infty}frac{sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}chi(d)}{n} \ &=lim_{n ightarrow +infty}frac{sum_{d=1}^nchi(d)frac{n}{d}}{n} \ &=lim_{n ightarrow +infty}sum_{d=1}^nfrac{chi(d)}{d} \ &=1-frac{1}{3}+frac{1}{5}-frac{1}{7}+frac{1}{9}-frac{1}{11}+ldots end{aligned} ]

整明白点儿啥没？