UVa 1649 Binomial coefficients 数学

题意：

(C(n, k) = m(2 leq m leq 10^{15}))，给出(m)求所有可能的(n)和(k)。

分析：

设(minK = min(k, n - k))，容易看出(minK)的值绝对不会太大。
因为(n geq 2minK)，经过简单的计算可以知道(minK)不超过(26)。
所以，可以枚举(minK)，二分(n)来求解，二分的范围是([minK,m])。

二分的过程中需要比较(C(n,k))和(m)的大小，因为(C(n,k))可能会太大超过(long \, long)的范围，不能直接计算。
所以可以做除法来比较，(C(n,k)=prodlimits _{i=1}^k frac{n-i+1}{i})。
用(m)逐个去除以(frac{n-i+1}{k})，如果过程中变为了(0)，说明(C(n,k)>m)。
否则(C(n,k))在(long \, long)的范围，可以直接计算去比较。

• 还想到一种(没卵用)优化：

因为(C(m,1))和(C(m,m-1))是显然的一组解，直接加到答案里就好了。
可以从(minK=2)开始枚举，(C(n,2)=frac{n(n-1)}{2}=m)。
所以如果有解的话，(n)的取值大概在(sqrt{2m})附近，减少了大概一半的二分次数。
进一步(minK=3)的话，(n)的范围就更小了，从这个角度我们也可以验证解不会太多。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <utility>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<LL, LL> PLL;

vector<PLL> ans;

int cmp(LL n, int k, LL m) {
	LL C = 1;
	for(int i = 1; i <= k; i++) {
		if(m * i / (n - i + 1) / C == 0) return 1;
		C = C * (n - i + 1) / i;
	}
	return C == m ? 0 : -1;
}

void output(const PLL& x) {
	printf("(%lld,%lld)", x.first, x.second);
}

int main()
{
	int T; scanf("%d", &T);
	while(T--) {
		LL m; scanf("%lld", &m);
		ans.clear();
		ans.push_back(make_pair(m, 1LL));
		ans.push_back(make_pair(m, m - 1LL));
		for(int i = 2; i <= 30; i++) {
			LL L = i, R = m;
			while(L <= R) {
				LL mid = (L + R) / 2;
				int c = cmp(mid, i, m);
				if(c == 0) {
					ans.push_back(make_pair(mid, i));
					ans.push_back(make_pair(mid, mid - i));
					break;
				} else if(c == 1) R = mid - 1;
				else L = mid + 1;
			}
		}
		sort(ans.begin(), ans.end());
		ans.resize(unique(ans.begin(), ans.end()) - ans.begin());
		printf("%d
", ans.size());
		if(!ans.empty()) output(ans[0]);
		for(int i = 1; i < ans.size(); i++) {
			printf(" "); output(ans[i]);
		}
		printf("
");
	}

	return 0;
}