题意：
有一个长度为(n)的正整数序列(a)，有这样一种操作：
每次可以选序列中的某一个数乘上或除以某一个素数。
求对于每一个子序列使其所有元素相等的最少操作次数之和。
分析：
因为两个素数之间互不影响，单独考虑每一个素数(p)。
设当前子序列的长度为(k)，对应的指数为(e_1, e_2 cdots e_k)。
每次操作会将某一个(e_i)增加(1)或减少(1)。
将(e_i)对应到数轴上的点，每次操作就相当于让某个点向左或向右移动一个单位长度。
让它们都相等的最少操作次数就等于这些点到中位数的距离之和(d)。
- (k=4)时，(d=e_4+e_3-e_2-e_1)，中位数为(e_2)或(e_3)。
- (k=5)时，(d=e_5+e_4-e_2-e_1)，中位数为(e_3)。
下面考虑所有的子序列：
对于(e_k)，如果它在一个子序列的左半部分那么它对答案的贡献是(-1) ，如果它在序列的右半部分那么它对答案的贡献是(+1)。
可以在(e_1, e_2 cdots e_{k-1})中选若干数，以及在(e_{k+1} cdots e_n)选若干数，构成包含(e_k)的子序列。
考虑下面这个生成函数：
[(1+frac{1}{x})^{k-1}+(1+x)^{n-k}=frac{(1+x)^{n-1}}{x^{k-1}}
]
- (e_k)在左半部分的子序列的个数为指数为负的系数之和
- (e_k)在右半部分的子序列的个数为指数为正的系数之和
因此(e_k)对所有子序列的贡献为:
[sumlimits_{i=k}^{n-1}C_{n-1}^i-sumlimits_{i=0}^{k-2}C_{n-1}^i
]
[=sumlimits_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i-sumlimits_{i=0}^{k-1}C_{n-1}^i-sumlimits_{i=0}^{k-2}C_{n-1}^i
]
[=2^{n-1}-2sumlimits_{i=0}^{k-2}C_{n-1}^i-C_{n-1}^{k-1}
]
[=2^{n-1}-sumlimits_{i=0}^{k-1}C_n^i
]
而且({e_i})最大不会超过(20)，所以统计一下每个(e_i)出现的次数，再预处理一下组合数的前缀和的前缀和。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MOD = 1000000007;
LL mul(LL a, LL b) { return a * b % MOD; }
void add(LL& a, LL b) { a += b; if(a >= MOD) a -= MOD; }
void sub(LL& a, LL b) { a -= b; if(a < 0) a += MOD; }
LL pow_mod(LL a, int p) {
LL ans = 1;
while(p) {
if(p & 1) ans = mul(ans, a);
a = mul(a, a);
p >>= 1;
}
return ans;
}
const int maxn = 300000 + 10;
const int maxp = 26000;
bool vis[maxn];
int prime[maxp], pid[maxn], pcnt;
void preprocess() {
for(int i = 2; i < maxn; i++) {
if(!vis[i]) { prime[pcnt] = i; pid[i] = pcnt++; }
for(int j = 0; j < pcnt; j++) {
if(i * prime[j] >= maxn) break;
vis[i * prime[j]] = true;
if(i % prime[j] == 0) break;
}
}
}
int n, a[maxn];
int cnt[maxp][20];
LL fac[maxn], inv[maxn], Cn[maxn];
void decompose(int x) {
for(int i = 0; x > 1; i++) {
int p = prime[i];
if(p * p > x) break;
if(x % p != 0) continue;
int e = 0;
while(x % p == 0) { x /= p; e++; }
cnt[i][e]++;
}
if(x > 1) cnt[pid[x]][1]++;
}
int main()
{
preprocess();
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", a + i);
fac[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++) fac[i] = mul(fac[i - 1], i);
inv[n] = pow_mod(fac[n], MOD - 2);
for(int i = n - 1; i >= 0; i--) inv[i] = mul(inv[i + 1], i + 1);
for(int i = 0; i <= n; i++) Cn[i] = mul(mul(fac[n], inv[i]), inv[n - i]);
for(int i = 1; i <= n; i++) add(Cn[i], Cn[i - 1]);
for(int i = 1; i <= n; i++) add(Cn[i], Cn[i - 1]);
for(int i = 1; i <= n; i++) decompose(a[i]);
LL ans = 0;
LL S = pow_mod(2, n - 1);
for(int i = 0; i < pcnt; i++) {
int tot = n;
for(int j = 1; j < 20; j++) tot -= cnt[i][j];
for(int j = 1; j < 20; j++) if(cnt[i][j]) {
int L = tot, R = L + cnt[i][j] - 1;
tot += cnt[i][j];
LL t = Cn[R];
if(L) sub(t, Cn[L - 1]);
sub(t, mul(S, cnt[i][j]));
add(ans, mul(t, j));
}
}
printf("%lld
", ans);
return 0;
}