LA 4123 (计数 递推) Glenbow Museum

题意：

这种所有边都是垂直或水平的多边形，可以用一个字符串来表示，一个270°的内角记作O，一个90°的内角记作R。

如果多边形内存在一个点，能看到该多边形所有的点，则这个多边形对应的序列是合法的。这里长度不作限制，只要长度适当能满足要求即可。

现给出序列长度，问有多少种序列符合要求。

分析：

书上分析地很清楚，罗列一下要点：

首先对于一个长度为n的合法序列，R的个数为(n+4)/2，O的个数为(n-4)/2，即R比O多4个

我们要找的序列满足要求：R比O多4个，没有两个O相邻。

这里先设计了一个O(n²)递推的状态，很好理解，看下面那个O(n)的递推

f(i, j, k)表示有i个R，有j对相邻的R，k(k=0表示R，k=1表示O)开头，R结尾的序列个数。

边界：

f(1, 0, 0) = 1,对应串R；f(1, 0, 1) = 1,对应串OR

状态转移方程：

f(i, j, k) = f(i-1, j, k) + f(i-1, j-1, k)，第一个代表在最后面加OR，第二个表示在最后面加R

答案：

f((n+4)/2, 3, 0) + f((n+4)/2, 4, 1) + f((n+4)/2, 4, 0)

第一个表示开头结尾都是R的串，串中有3对相邻的R，因为串是环状的，所以首尾也算一对，共4对R

第二个是O开头，R结尾的串

第三个看起来是R开头结尾，而且中间还有4对R，但只要在最后加上一个O就行了，这样不影响R的个数，对数，总之不影响整个状态的表示。

#include <cstdio>

const int maxn = 1000;

long long d[maxn + 10][5][2], ans[maxn + 10];

void Init()
{
    d[1][0][1] = d[1][0][0] = 1;
    for(int i = 2; i <= maxn; i++)
        for(int j = 0; j < 5; j++)
            for(int k = 0; k < 2; k++)
            {
                d[i][j][k] = d[i-1][j][k];
                if(j) d[i][j][k] += d[i-1][j-1][k];
            }

    for(int i = 4; i <= maxn; i+= 2)
    {
        int R = (i>>1) + 2;
        ans[i] = d[R][3][0] + d[R][4][1] + d[R][4][0];
    }
}

int main()
{
    Init();
    int n, kase = 1;
    while(scanf("%d", &n) == 1 && n) printf("Case %d: %lld
", kase++, ans[n]);
}