UVa 10900 (连续概率、递推) So you want to be a 2n-aire?

题意：

初始奖金为1块钱，有n个问题，连续回答对i个问题后，奖金变为2ⁱ元。

回答对每道题的概率在t~1之间均匀分布。

听到问题后有两个选择：

• 放弃回答，拿走已得到的奖金
• 回答问题：
  • 如果回答正确，奖金加倍
  • 如果回答错误，游戏结束，得不到奖金

分析：

d[i]表示答对i题后最大期望奖金，设回答对第i题的概率为p，

则回答第i题的期望奖金 = p × d[i]

考虑上不回答的情况，期望奖金最大值为max{2^i-1, p*d[i]}

因为p在t~1均匀分布，所以d[i]等于分段函数max{2^i-1, p*d[i]}在这个区间上的积分。

因为一段是常函数，一段是直线，所以积分很好求。

令p0 = max{t, 2ⁱ/d[i+1]}

• p < p0，选择不回答，奖金期望为2ⁱ
• p ≥ p0，选择回答，奖金期望为(1+p0)/2 * d[i+1]

根据全概率公式，第一种情况的概率为p1 = (p0 - t) / (1 - t)

d[i] = p1*2ⁱ + (1-p1)*(1+p0)/2 * d[i+1]

边界d[n] = 2ⁿ，答案为d[0]

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 35;
double d[maxn];

int main()
{
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    int n;
    double t;
    while(scanf("%d%lf", &n, &t) == 2 && n)
    {
         d[n] = (1 << n);
         for(int i = n-1; i >= 0; --i)
         {
             double p0 = max(t, (double)(1<<i)/d[i+1]);
             double p1 = (p0-t)/(1-t);
             d[i] = (double)(1<<i)*p1 + (1+p0)/2 * d[i+1] * (1-p1);
         }
         printf("%.3f
", d[0]);
    }

    return 0;
}