HDU 4746 (莫比乌斯反演) Mophues

这道题看巨巨的题解看了好久，好久。。

本文转自hdu4746(莫比乌斯反演)

题意：给出n, m, p，求有多少对a, b满足gcd(a, b)的素因子个数<=p，(其中1<=a<=n, 1<=b<=m)

分析：设A(d)：gcd(a, b)=d的有多少种

     设B(j): gcd(a, b)是j的倍数的有多少种，易知B(j) = (n/j)*(m/j)

     则由容斥原理得：（注：不同行的μ是不相同的，μ为莫比乌斯函数）

     A(1) = μ(1)*B(1) + μ(2)*B(2) + μ(3)*B(3) + ... + μ(p1*p2...)*B(p1*p2...)

     A(2) = μ(1)*B(1*2) + μ(2)*B(2*2) + μ(3)*B(3*2) + ... + μ(p1*p2..)*B(p1*p2..*2)

     ...

     A(d) = μ(1)*B(1*d) + μ(2)*B(2*d) + μ(3)*B(3*d) + ... + μ(p1*p2..)*B(p1*p2..*d)

     ans = A(1)+A(2)+...+A(d) = F(1)*B(1) + F(2)*B(2) + ... + F(p1*p2..)*B(p1*p2..)

     于是可以枚举公约数i{表示A(i)}，利用筛法找出i的倍数j，i对B(j)的贡献系数为：F(j)+=μ(j/i)

     总之，求出B(j)的总贡献系数F(j)即可得答案：F(1)*B(1)+F(2)*B(2)+...+F(n)*B(n)

     上面没有限制gcd的素因子个数，要限制其实不难，给系数加多一维即可：

     F(d)(p)表示：素因子个数<=p时，对B(d)的贡献系数

   

     分块加速思想

     你可以再纸上模拟一下：设d在[i, n/(n/i)]的区间上，则该区间内所有的n/d都是一样的。

另外我想再补充一下：

• 根据上面A、B的含义，有，然后根据莫比乌斯反演公式，反解出A(n)，得
• 代码中const int N = 19;以及特判if(p >= N)。为什么要定义N为19呢，因为如果一个正整数的素因子的个数大于等于19的话，那么这个数一定要比5×10⁵要大，因为素因子个数为19的最小整数为2¹⁹＞5×10⁵
• 分块加速还想再啰嗦两句，因为，在计算B(i)时可以不用枚举每个i计算B(i)。举个栗子，。正如上面所说，d在区间[i, n/(n/i)]中，所有n/d的值都是一样的。这样就避免了重复计算B(i)，在计算答案的时候预处理F(i, p)的前缀和即可。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
typedef long long LL;

const int M = 500000 + 10;
const int N = 19;
int F[M][N], num[M], h[M];//num记录素因子的个数，h如果含平凡因子则为-1，否则记录素因子的种类

int Mob(int n)
{
    if(h[n] == -1) return 0;
    if(h[n] & 1) return -1;
    return 1;
}

void Init()
{
    for(int i = 2; i < M; ++i)
    {
        if(num[i]) continue;
        for(int j = i; j < M; j += i)
        {
            int cnt = 0, temp = j;
            while(temp % i == 0)
            {
                cnt++;
                temp /= i;
            }
            num[j] += cnt;
            if(cnt > 1) h[j] = -1;
            else if(h[j] >= 0) ++h[j];
        }
    }

    for(int i = 1; i < M; ++i)
        for(int j = i; j < M; j += i)
            F[j][num[i]] += Mob(j / i);
    //求j的前缀和，使F表示素因子个数<=j的含义
    for(int i = 1; i < M; ++i)
        for(int j = 1; j < N; ++j)
            F[i][j] += F[i][j-1];
    //求i的前缀和，用于分块加速
    for(int i = 1; i < M; ++i)
        for(int j = 0; j < N; ++j)
            F[i][j] += F[i-1][j];
}

int main()
{
    Init();

    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        int n, m, p;
        scanf("%d%d%d", &n, &m, &p);
        LL ans = 0;
        if(p >= N)
        {
            ans = (LL)n * m;
        }
        else
        {
            if(n > m) std::swap(n, m);
            for(int i = 1, j; i <= n; i = j + 1)
            {
                j = std::min(n/(n/i), m/(m/i));
                ans += ((LL)F[j][p] - F[i-1][p]) * (n/i) * (m/i);
            }
        }

        printf("%I64d
", ans);
    }

    return 0;
}