AtCoder Grand Contest 009 E：Eternal Average

题目传送门：https://agc009.contest.atcoder.jp/tasks/agc009_e

题目翻译

纸上写了(N)个(1)和(M)个(0)，你每次可以选择(k)个数字擦掉，然后再写一个他们的平均值上去。保证(N+M-1)可以整除(k-1)，请问最后留下来的那个数有多少种。(N,M,Kleqslant 2000)

题解

这题可以转化一下题意：有一棵(k)叉树，有(n+m)个叶子，每个叶子的权值是(0)或(1)，其他结点的权值是子结点权值的平均值。问根节点的权值有多少种情况。

假设权值为(0)的叶子的深度分别为(x_i)，权值为(1)的叶子的深度分别为(y_i)。

显然：(sum k^{-x_i}+sum k^{-y_i}=1)

所以对于所有的有理数(s)，根的权值可能等于他必然满足：

(s=sum k^{-y_i})

(1-s=sum k^{-x_i})

把(s)写成(k)进制(0.s_1s_2s_3...s_{len})，如果(s)可以被(N)个(k^{-1})的幂的和表示，那么一定满足：

(sumlimits_{i=1}^{len}s_ileqslant N)且(sumlimits_{i=1}^{len}s_iequiv N(mod k-1))

我们还可以把(k^{-a})拆成(k)个(k^{-a-1})来凑出恰好(N)。

然后我们就可以(N^2dp)求(s)的方案数了。

时间复杂度：(O(nm))

空间复杂度：(O(nm))

代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
const int maxn=2e3+5,pps=1e9+7;
 
int n,m,k,ans,len;
int f[maxn<<1][maxn];
 
int read() {
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=x*10+ch-'0';
	return x*f;
}
 
int main() {
	n=read(),m=read(),k=read();
	len=(n+m-1)/(k-1);
	for(int i=1;i<k;i++)
		f[1][i]=1;
	for(int i=2;i<=len;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++) {
			f[i][j]=(f[i-1][j]+f[i][j-1])%pps;
			if(j>=k)f[i][j]=(f[i][j]+pps-f[i-1][j-k])%pps;
		}
	for(int i=1;i<=len;i++) {
		int limit=max(0,i*(k-1)-m)+1;
		for(int j=n;j>=limit;j-=k-1)
			ans=(ans+f[i][j])%pps;
	}
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}