CF327C 快速幂，费马小定理

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题意：给一串数，这串数重复k次，求去掉一些数后得到的新数能被5整除，问有多少种方法得到满足条件的数。

思路：要求能被5整除，则数的末位必然是0或5，求出原始串中0和5的位置，从0开始计数，位置为i1，i2，i3,,,in，则有a=2^i1+2^i2+...+2^in种方法。则在所有中的方法总数为：s=a*(q^n-1)/(q-1),q=2^len,len为原始串的长度。这个公式推一下就出来了。由于数据范围很大，所以要模1e9+7。在求幂的时候采用的是快速幂来做。除以(q-1)的话，求出它的逆元。由欧拉定理，(a,n)=1,a^phi(n)=1(mod n),a的逆为a^(phi(n)-1),n为素数时，phi(n)=n-1,所以a的逆为a^(n-2)%n.

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

typedef long long LL;
char a[100002];
int k;
int mod=1e9+7;

//LL fastmi(LL a, LL n)
//{
//    if (n == 0)
//        return 1;
//    else if (n % 2 == 1)
//        return (a * fastmi(a, n - 1)) % mod;
//    else
//    {
//        LL temp = fastmi(a, n / 2);
//        return (temp * temp) % mod;
//    }
//}
LL fastmi(LL a, LL b) {
    LL ans=1;
    while (b) {
        if (b&1){ans = (ans*a)%mod; b--;}
        b/=2; a = a * a % mod;
    }
    return ans;
}//由78s降到了46s
int main()
{
    scanf("%s",a);
    scanf("%d",&k);
    int len=strlen(a);
    LL ans=0;
    for(int i=0; i<len; i++)
        if(a[i]=='0' || a[i]=='5')
        {
            ans=(ans+fastmi(2,i))%mod;
        }
    LL q=fastmi(2,len);
    LL p=fastmi(q,k)%mod;
    p=(p-1+mod)%mod;
    LL q1=(q-1+mod)%mod;
    ans=(ans*p)%mod;
    q1=fastmi(q1,mod-2)%mod;//欧拉定理
    ans=(ans*q1)%mod;
    printf("%I64d
",ans);
    return 0;
}

一开始不知道欧拉定理，公式也没化简，用循环直接求，自然T了。公式的话，能化简就化简，化简了可以看出一些东西来。