我们假设同余方程组所有的ai都等于1,并且所有的mi都互质,答案一定是x≡b(mod Пmi)反之,对于一个合数n,假设我们有n=ab(其中a和b互质)。那么如果x mod n的值确定,x mod a和x mod b的值就都确定了。也就是说,我们有(x mod n)<=>(x mod a, x mod b)这样一组对应关系。换句话说,以合数n为模数考虑与以a和b为模数考虑是等价的。这个定理叫做中国剩余定理。其实中国剩余定理不是一个算法,就是思考一类问题的方法。
对于求解此类型的同余方程组:有公式:其中Mi=Пmi/mi ,ti是Mi的逆元。其证明如下(其实我认为百度写的确实很清楚):
首先,我们可以考察Mitiai可知:Mitiai≡ai*1
而且我们也不难理解:
对任意的j∈{1,2,3,……n} Mitiai≡0(mod mj)
所以我们可以得到:
通过这个我们可以证明x是原方程组的一个解。另外,设x1,x2均为方程解则我们不难得出x1-x2≡0(mod mi)那么既然mi两两互质,这样就说明x1与x2之间差的一定是M=Пmi的整数倍,所以我们可以得到原方程组的解集:
证毕。我个人认为这个没什么代码可提供的,但如果一定要的话,那就给一到水的代码吧……是解上述类型同余方程组的(先声明,解同余方程组不止这一种方法)……
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 int a[10000],m[10000],bigm[10000],t[10000]; 4 int main() 5 { 6 long long ans=0; 7 int n,M=1; 8 cin>>n; 9 for(int i=1;i<=n;i++) 10 { 11 scanf("%d%d",&m[i],&a[i]); 12 M*=m[i]; 13 } 14 for(int i=1;i<=n;i++) 15 { 16 int temp=1; 17 bigm[i]=M/m[i]; 18 while(1) 19 { 20 if(temp*bigm[i]%m[i]==1) 21 { 22 t[i]=temp; 23 break; 24 } 25 temp++; 26 } 27 } 28 for(int i=1;i<=n;i++) 29 { 30 ans=ans+a[i]*t[i]*bigm[i]; 31 } 32 cout<<ans%M; 33 }