七夕祭⭐

题面

七夕节因牛郎织女的传说而被扣上了「情人节」的帽子。

于是TYVJ今年举办了一次线下七夕祭。

Vani同学今年成功邀请到了cl同学陪他来共度七夕，于是他们决定去TYVJ七夕祭游玩。

TYVJ七夕祭和11区的夏祭的形式很像。

矩形的祭典会场由N排M列共计N×M个摊点组成。

虽然摊点种类繁多，不过cl只对其中的一部分摊点感兴趣，比如章鱼烧、苹果糖、棉花糖、射的屋……什么的。

Vani预先联系了七夕祭的负责人zhq，希望能够通过恰当地布置会场，使得各行中cl感兴趣的摊点数一样多，并且各列中cl感兴趣的摊点数也一样多。

不过zhq告诉Vani，摊点已经随意布置完毕了，如果想满足cl的要求，唯一的调整方式就是交换两个相邻的摊点。

两个摊点相邻，当且仅当他们处在同一行或者同一列的相邻位置上。

由于zhq率领的TYVJ开发小组成功地扭曲了空间，每一行或每一列的第一个位置和最后一个位置也算作相邻。

现在Vani想知道他的两个要求最多能满足多少个。

在此前提下，至少需要交换多少次摊点。

输入格式

第一行包含三个整数N和M和T，T表示cl对多少个摊点感兴趣。

接下来T行，每行两个整数x, y，表示cl对处在第x行第y列的摊点感兴趣。

输出格式

首先输出一个字符串。

如果能满足Vani的全部两个要求，输出both；

如果通过调整只能使得各行中cl感兴趣的摊点数一样多，输出row；

如果只能使各列中cl感兴趣的摊点数一样多，输出column；

如果均不能满足，输出impossible。

如果输出的字符串不是impossible， 接下来输出最小交换次数，与字符串之间用一个空格隔开。

数据范围

1≤N,M≤100000,
0≤T≤min(N∗M,100000),
1≤x≤N,
1≤y≤M

输入样例：

2 3 4
1 3
2 1
2 2
2 3

输出样例：

row 1

题解

这个题其实是两个问题:

1.让摊点上下移动,使得每行的摊点一样多

2.左右移动摊点,使得每列的摊点一样多

两个问题是等价的,就讨论第一个

r[i]表示每行的摊点数

然后使得r[i]的一些摊点移动到r[i - 1]和r[i + 1], 类似于"均摊纸牌"

均摊纸牌

有M个人排一排,每个人分别有C[1]~C[M]张拍,每一步中,一个人可以将自己的一张手牌给相邻的人,求至少需要几步

显然, 纸牌总数T能被M整除有解,在有解的情况下, 考虑第一个人:

1.C[1] >= T/M, 第一个人要给第二个人C[1] - T/M张牌
2.C[1] < T/M, 第二个给第一个人T/M - C[1]张牌
本质就是使得第一人满足要求要|T/M - C[1]|步
那么满足第二人就要 |T/M - (C[2] - (T/M - C[1]))| = |2 * T/M - (C[1] + C[2])|步
满足第三人 |T/M - (C[3] - (T/M - (C[2] - (T/M - C[1]))))| = |3 * T/M - (C[1] + C[2] + C[3])|

到这里就可以发现,有一段是前缀和, 但再仔细化简以下可以发现

|3 * T/M - (C[1] + C[2] + C[3])|
=|(T/M - C[1]) + (T/M - C[2]) + (T/M - C[3])|
=|(C[1] - T/M) + (C[2] - T/M) + (C[3] - T/M)|

我们可以让A[i] = C[i] - T/M, S[i]为A[i]的前缀和,

那么对于"均摊纸牌"这道题的答案就是

(sum^{n}_{i=1})|S[i]|

对于本题来说,无非是变成了环形问题

直接无脑dp就可以

我们随便选取一个人k最为断环的最后一名(即第一个人变为为k + 1),

则从这个人开始的持有的牌数(这行的摊点数), 前缀和为

A[k + 1]   S[k + 1] - S[k]
A[k + 2]   S[k + 2] - S[k]
...
A[M]       S[M] - S[k]
A[1]       S[M] - S[k] + S[1]
A[2]       S[M] - S[k] + S[2]
...
A[k]       S[M] - S[k] + S[k]

我们发现S[M] = 0, 所以答案为

 |S[k + 1] - S[k]| + ... + |S[M] - S[k]| + |s[M] - S[k] + S[1]| + ... + |S[M] - S[K] + S[k]|

=|S[k + 1] - S[k]| + ... + |S[M] - S[k]| + |-S[k] + S[1]| + ... + |-S[k] + S[k]|

=(sum^{n}_{i=1}) |S[i] - S[k]|

答案已经很明显了,像不像"仓货选址"?

仓货选址

一条轴上有N家店,每家店的坐标为D[1]~D[N],选择一家点为仓库向其他商店发货,求选哪家店,运送距离最短

不就是(sum^{n}_{i=1}) |D[i] - D[k]| 为答案吗?

当然是选中位数了啦,

设k左边有P家店,右边有Q家店

如果P<Q,那必然将k右移, ans - Q + P,答案明显变小了

Q>P,同理,故选择中位数

所以本题的答案就已经近在眼前了, 前缀和,求中位数

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn = 1e5 + 5;

int n, m, k;
int c[maxn], r[maxn], s[maxn];

ll work(int a[], int n)
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        s[i] = s[i - 1] + a[i] - k / n;
    sort(s + 1, s + 1 + n);
    ll ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        ans += abs(s[i] - s[(n >> 1) + 1]);
    return ans;
}

int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 1; i <= k; ++i)
    {
        int a, b; cin >> a >> b;
        ++c[b], ++r[a];
    }
    if (k % n + k % m == 0)
        cout << "both " << work(c, m) + work(r, n);
    else if (k % n == 0)
        cout << "row " << work(r, n);
    else if (k % m == 0)
        cout << "column " << work(c, m);
    else cout << "impossible";
    return 0;
}