靶形数独

题目描述

洛谷（1074）

小城和小华都是热爱数学的好学生，最近，他们不约而同地迷上了数独游戏，好胜的他们想用数独来一比高低。但普通的数独对他们来说都过于简单了，于是他们向 Z 博士请教，Z 博士拿出了他最近发明的“靶形数独”，作为这两个孩子比试的题目。

靶形数独的方格同普通数独一样，在 99 格宽×99 格高的大九宫格中有99 个 33 格宽×33 格高的小九宫格（用粗黑色线隔开的）。在这个大九宫格中，有一些数字是已知的，根据这些数字，利用逻辑推理，在其他的空格上填入 11 到 99的数字。每个数字在每个小九宫格内

不能重复出现，每个数字在每行、每列也不能重复出现。但靶形数独有一点和普通数独不同，即每一个方格都有一个分值，而且如同一个靶子一样，离中心越近则分值越高。（如图）

上图具体的分值分布是：最里面一格（黄色区域）为 10分，黄色区域外面的一圈（红色区域）每个格子为9分，再外面一圈（蓝色区域）每个格子为8分，蓝色区域外面一圈（棕色区域）每个格子为分，最外面一圈（白色区域）每个格子

为6分，如上图所示。比赛的要求是：每个人必须完成一个给定的数独（每个给定数独可能有不同的填法），而且要争取更高的总分数。而这个总分数即每个方格上的分值和完成这个数独时填在相应格上的数字的乘积的总和

总分数即每个方格上的分值和完成这个数独时填在相应格上的数字的乘积的总和。如图，在以下的这个已经填完数字的靶形数独游戏中，总分数为 2829。游戏规定，将以总分数的高低决出胜负。

由于求胜心切，小城找到了善于编程的你，让你帮他求出，对于给定的靶形数独，能够得到的最高分数。

输入输出格式

输入格式：

一共 99 行。每行99个整数（每个数都在 0-90−9 的范围内），表示一个尚未填满的数独方格，未填的空格用“00”表示。每两个数字之间用一个空格隔开。

输出格式：

输出共 11 行。输出可以得到的靶形数独的最高分数。如果这个数独无解，则输出整数-1−1。

思路

1. 大方向应该是按人思想从需要填数最少的行（列或九宫格）开始填，减少填格次数，而我选择了贪心从（5，5）开始从9~1选数，按逆时针填表，结果超时

2. 般来说，广搜常用于找单一的最短路线，或者是规模小的路径搜索，它的特点是"搜到就是最优解"， 而深搜用于找多个解或者是"步数已知（好比3步就必需达到前提）"的标题，它的空间效率高，然则找到的不必定是最优解，必需记实并完成全数搜索，故一般情况下，深搜需要很是高效的剪枝（优化）。步数已知（9*9），深搜。
3. 要用3个二维数组，存放每行，每列，每个九宫格已用那些树，也可以三维数组。m[3][10][10];
4. 计算九宫格编号，我看题解都是很麻烦的算，可以直接 [（列号-1）/3+(行号-1）/3*3+1]即可，注意 /3*3不是1。
5. 可以边搜边计算得分，也可以填完九宫格后算分，个人喜欢边搜便算。
6. 对于表格中给的数用 tu[10][10] 记录，并在输入数据时用 you 不断 += 节省搜索中重复计算已给数得分时间，搜索中 if(tu[i][y]) 直接continue就行。
7. 获得格子得分k，没看多少题解大部分分析行、列是枚举，通过观察可得，k=5+当前格子距离边界最近距离，int a=i>5?10-i:i,  b=j>5?10-j:j;  int k=a>b?b+5:a+5; 即可。
8. 从简直接按最少的行（列或九宫格）开始填（如果你可以按人的思维，每填完一次，观察行、列、小九宫格，找最好填的格子也行），用结构体数组as[10]，sort排序。
9. 深搜传参（当前要填的行号即as[w].h，现在得分now，int c）由于每次填数要从当前填行的第一个开始很麻烦，干脆传一个上一次填的位置的下一位c。
10. 剪枝，找不到能填的数就return，找到就（w，now，i+1） now已经加上了此数得分，找不到此行能填数的格子要么填完了，要么（w+1，now，0）。代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int tu[10][10], m[3][10][10];
int fen, you; //fen记录最大得分

struct hang {int h, s;}as[10];

bool cmp(hang a, hang b){return a.s > b.s;}

void work(int w, int now,int c) {
    for (int i = c; i <= 9; ++i) {
        if (!tu[as[w].h][i]) {
            for (int j = 9; j >= 1; --j) {
                if (m[0][as[w].h][j] || m[1][i][j] || m[2][(i - 1) / 3 + (as[w].h - 1) / 3 * 3 + 1][j])continue;
                tu[as[w].h][i] = j;
                int a = i > 5 ? 10 - i : i, b = as[w].h > 5 ? 10 - as[w].h : as[w].h;
                int k = a > b ? b : a;
                int aaa = j * (5 + k);
                now += aaa;
                m[0][as[w].h][j] = m[1][i][j] = m[2][(i - 1) / 3 + (as[w].h - 1) / 3 * 3 + 1][j] = 1;
                work(w, now,i+1);
                tu[as[w].h][i] = 0;
                now -= aaa;
                m[0][as[w].h][j] = m[1][i][j] = m[2][(i - 1) / 3 + (as[w].h - 1) / 3 * 3 + 1][j] = 0;
            }
            return;
        }
    }
    if (w == 9 && now > fen)
        fen = now;
    else if (w != 9) work(w + 1, now,1);
}

int main() {
    for (int i = 1; i <= 9; ++i) {
        int a = i > 5 ? 10 - i : i; as[i].h = i;
        for (int j = 1; j <= 9; ++j) {
            scanf("%d", &tu[i][j]);
            m[0][i][tu[i][j]] = m[1][j][tu[i][j]] = m[2][(j - 1) / 3 + (i - 1) / 3 * 3 + 1][tu[i][j]] = 1;
            int b = j > 5 ? 10 - j : j;
            you += a > b ? (b + 5)*tu[i][j] : (a + 5)*tu[i][j];
            if (tu[i][j] != 0)as[i].s++;
        }
    }
    sort(as + 1, as + 10, cmp);
    work(1, 0,1);
    if (!fen) printf("-1");
    else printf("%d", fen + you);
    return 0;
}

　　

按人的思维来了，每次选择可填数最少的格子填数

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ge(x,y) x/3*3+y/3
using namespace std;
int r[9], c[9], g[9], mp[9][9];
int cnt[512], m[512], tot,csorce,ans=-1;
inline int read()
{
    char c = getchar();
    while ((c > '9' || c < '0') && c != 'e')c = getchar();
    return c - '0';
}
inline int getgrade(int x,int y)
{
    return 10-max(abs(x-4),abs(y-4)); 
}
inline int lowbit(int x)
{
    return x & (-x);
}
void init()
{
    for (int i = 0; i < (1 << 9); ++i)
        for (int j = i; j; j -= lowbit(j))
            ++cnt[i];
    for (int i = 0; i < 9; ++i)
        m[1 << i] = i;
}
inline void change(int x, int y, int z)
{
    int cc = 1 << (z - 1);
    r[x] ^= cc;
    c[y] ^= cc;
    g[ge(x, y)] ^= cc;
}
inline bool dfs(int tot)
{
    if (!tot)
    {
        ans=max(ans,csorce);
        return 1;
    }
    int x, y, temp = 10;
    for (int i = 0; i < 9; ++i)
        for (int j = 0; j < 9; ++j)
        {
            if (mp[i][j])
                continue;
            int val = c[j] & r[i] & g[ge(i, j)];
            if (!val)
                return 0;
            if (cnt[val] < temp)
            {
                temp = cnt[val];
                x = i;
                y = j;
            }
        }
    int val = c[y] & r[x] & g[ge(x,y)];
    for (; val; val -= lowbit(val))
    {
        int z = m[lowbit(val)] + 1;
        mp[x][y] = z;
        csorce+=getgrade(x,y)*z;
        change(x, y, z);
        dfs(tot-1);
        /*if (dfs(tot - 1))
            return 1;*/
        mp[x][y] = 0;
        csorce-=getgrade(x,y)*z;
        change(x, y, z);
    }
    return 0;
}
int main()
{
    init();
    tot = 0;
    for (int i = 0; i < 9; ++i)
        r[i] = c[i] = g[i] = (1 << 9) - 1;
    for (int i = 0; i < 9; ++i)
        for (int j = 0; j < 9; ++j)
        {
            mp[i][j] = read();
            if (mp[i][j])
            {
                change(i, j, mp[i][j]);
                csorce+=getgrade(i,j)*mp[i][j];
            }
            else
                ++tot;
        }
    dfs(tot);
    printf("%d",ans);
}