• 数论——筛法


    素数筛法

    如果我们想要知道小于等于 n有多少个素数呢?

    一个自然的想法是我们对于小于等于n的每个数进行一次判定。这种暴力的做法显然不能达到最优复杂度,考虑如何优化。

    考虑这样一件事情:如果x是合数,那么x的倍数也一定是合数。利用这个结论,我们可以避免很多次不必要的检测。

    如果我们从小到大考虑每个数,然后同时把当前这个数的所有(比自己大的)倍数记为合数,那么运行结束的时候没有被标记的数就是素数了。

    int Eratosthenes(int n) {
      int p = 0;
      for (int i = 0; i <= n; ++i) is_prime[i] = 1;
      is_prime[0] = is_prime[1] = 0;
      for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (is_prime[i]) {
          prime[p++] = i;  // prime[p]是i,后置自增运算代表当前素数数量
          for (int j = i * i; j <= n;
               j += i)  // 因为从 2 到 i - 1 的倍数我们之前筛过了,这里直接从 i
                        // 的倍数开始,提高了运行速度
            is_prime[j] = 0;  //是i的倍数的均不是素数
        }
      }
      return p;
    }

    以上为 Eratosthenes 筛法 (埃拉托斯特尼筛法),时间复杂度是 O(nlognlogn)。

    但显然有重复被标记的,所以无法达到线性。

    线性筛法代码:

    void init() {
      phi[1] = 1;
      for (int i = 2; i < MAXN; ++i) {
        if (!vis[i]) {
          phi[i] = i - 1;
          pri[cnt++] = i;
        }
        for (int j = 0; j < cnt; ++j) {
          if (1ll * i * pri[j] >= MAXN) break;
          vis[i * pri[j]] = 1;
          if (i % pri[j]) {
            phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1);
          } else {
            // i % pri[j] == 0
            // 换言之,i 之前被 pri[j] 筛过了
            // 由于 pri 里面质数是从小到大的,所以 i 乘上其他的质数的结果一定也是
            // pri[j] 的倍数 它们都被筛过了,就不需要再筛了,所以这里直接 break
            // 掉就好了
            phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
            break;
          }
        }
      }
    }

    上面的这种 线性筛法 也称为 Euler 筛法 (欧拉筛法)。

    注意到筛法求素数的同时也得到了每个数的最小质因子。

    筛法求欧拉函数

    注意到在线性筛中,每一个合数都是被最小的质因子筛掉。比如设p1是n的最小质因子,n'=n/p1 ,那么线性筛的过程中n通过n'*p筛掉。

    观察线性筛的过程,我们还需要处理两个部分,下面对 n'modp1分情况讨论。

    如果n'modp1=0,那么 n'包含了n的所有质因子。

     那如果n'modp1!=0 呢,这时n'和 n是互质的,根据欧拉函数性质,我们有:

    void phi_table(int n, int* phi) {
      for (int i = 2; i <= n; i++) phi[i] = 0;
      phi[1] = 1;
      for (int i = 2; i <= n; i++)
        if (!phi[i])
          for (int j = i; j <= n; j += i) {
            if (!phi[j]) phi[j] = j;
            phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
          }
    }

    筛法求莫比乌斯函数

    线性筛

    void pre() {
      mu[1] = 1;
      for (int i = 2; i <= 1e7; ++i) {
        if (!v[i]) mu[i] = -1, p[++tot] = i;
        for (int j = 1; j <= tot && i <= 1e7 / p[j]; ++j) {
          v[i * p[j]] = 1;
          if (i % p[j] == 0) {
            mu[i * p[j]] = 0;
            break;
          }
          mu[i * p[j]] = -mu[i];
        }
      }

    筛法求约数个数

    void pre() {
      d[1] = 1;
      for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (!v[i]) v[i] = 1, p[++tot] = i, d[i] = 2, num[i] = 1;
        for (int j = 1; j <= tot && i <= n / p[j]; ++j) {
          v[p[j] * i] = 1;
          if (i % p[j] == 0) {
            num[i * p[j]] = num[i] + 1;
            d[i * p[j]] = d[i] / num[i * p[j]] * (num[i * p[j]] + 1);
            break;
          } else {
            num[i * p[j]] = 1;
            d[i * p[j]] = d[i] * 2;
          }
        }
      }
    }

    筛法求约数和

    fi表示i的约数和,gi表示i的最小质因子的和

    void pre() {
      g[1] = f[1] = 1;
      for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (!v[i]) v[i] = 1, p[++tot] = i, g[i] = i + 1, f[i] = i + 1;
        for (int j = 1; j <= tot && i <= n / p[j]; ++j) {
          v[p[j] * i] = 1;
          if (i % p[j] == 0) {
            g[i * p[j]] = g[i] * p[j] + 1;
            f[i * p[j]] = f[i] / g[i] * g[i * p[j]];
            break;
          } else {
            f[i * p[j]] = f[i] * f[p[j]];
            g[i * p[j]] = 1 + p[j];
          }
        }
      }
      for (int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = (f[i - 1] + f[i]) % Mod;
    }

    总结:这些筛法都是基于素数的线性筛,因为这些函数对于素数来说都是是积性函数。

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