向量的点乘与叉乘学习笔记

原文

这里简单做些关于二维向量的笔记

点乘

$V_1(x_1,y_1) V_2(x_2,y_2) = x_1*x_2+y_1*y_2$

点乘是各项元素乘积的和，结果是一个标量而不是向量

点乘还有如下等式

$A B=|A||B|Cos(θ)$

其中θ是A、B的夹角

如果点乘出的点积是0的话表示向量垂直，点积在两向量平行时得到最大值

叉乘（重头戏来了）

$V_1(x_1,y_1) imes V_2(x_2,y_2) = x_1*y_2-y_1*x_2$

叉积有如下等式

$A imes B = |A||B|Sin(θ)$

这个θ和上面点乘不一样，是指从A转到B的角度。

按照AB夹角去转

若从A到B是逆时针则叉积为正，若从A到B是顺时针则叉积为负

若方向相反就得0

而叉积的绝对值是AB作为两边所围成的平行四边形的面积

即他俩围成的三角形的两倍

做些简单的练习与摸♂索

求点到直线的距离

已知点A，B，C，求C到直线AB的距离d

思考思考

首先我们知道叉积的绝对值就是三角形面积

而AB正好是底

那么答案$d = (AB imes AC)/|AB|$

求点到线段的距离

这里我们可以利用点积的性质来判断点C到AB的垂足是否在AB上

这里就给个提示吧：点积$|A||B|Cos(θ)$ 若为正，则表明两个向量的夹角小于90

你也可以去看看原文⬆

判断点是否在三角形内

给出点P和三角形ABC共四点坐标

利用叉积判断在顺/逆时针的性质

分别求

$t_1 = PA imes PB$

$t_2 = PB imes PC$

$t_3 = PC imes PA$

若$t_1,t_2,t_3$同号则在里面，否则P在外面

（相当于是向着三个顶点转一圈的感觉

以后再有新的练习我可能再加吧233