【bzoj4827】[Hnoi2017]礼物【FFT/NTT】

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题解：我们设两个手环增加的数相差c，且已经确定好了排列的顺序。
则差异值为∑ni=1(x[i]−y[i]+c)2$\sum _{i=1}^n(x[i]-y[i]+c{)}^2$
=>∑ni=1x[i]2+y[i]2+c2+2c(x[i]−y[i])−2x[i]y[i]$\sum _{i=1}^{n}x[i{]}^2+y[i{]}^2+c^2+2c(x[i]-y[i])-2x[i]y[i]$
=>∑ni=1x[i]2+y[i]2+nc2+c×∑ni=12(x[i]−y[i])−2∑ni=1x[i]y[i]$\sum _{i=1}^{n}x[i{]}^2+y[i{]}^2+n{c}^2+c\times \sum _{i=1}^{n}2(x[i]-y[i])-2\sum _{i=1}^{n}x[i]y[i]$
我们发现∑ni=1x[i]2+y[i]2$\sum _{i=1}^{n}x[i{]}^2+y[i{]}^2$是确定的。nc2+c×∑ni=12(x[i]−y[i])$n{c}^2+c\times \sum _{i=1}^{n}2(x[i]-y[i])$不就是要求一个二次函数的最小值吗？直接带公式−b2a$-\frac{b}{2a}$计算。最后我们要求的就是一个排列，使得∑ni=1x[i]y[i]$\sum _{i=1}^{n}x[i]y[i]$的值最大。
我们不妨设第二个手环转了k次。
则我们要求的就是∑ni=1x[i]y[i+k]$\sum _{i=1}^{n}x[i]y[i+k]$的值。
把x翻转一下=>∑ni=1x[n−i+1]y[i+k]$\sum _{i=1}^{n}x[n-i+1]y[i+k]$
我们发现这是一个卷积的形式。于是我们设两个多项式，把两个多项式乘起来，次数为n+k+1的项代的系数就是转了k次的答案。取个max就好了。最后计算一下上面那个式子的答案就解决了！
脑抽的我根本没看到x和y是分两行读入的，居然还过了样例，贡献了好几次WA！
代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=270005;
const double pi=3.141592653589793;
int n,m,k,x[N],y[N],rev[N]; 
ll ans,tot,maxn;
struct complex{
    double x,y;
    complex(){
        x=y=0;
    }
    complex(double x,double y):x(x),y(y){}
    friend complex operator + (const complex &a,const complex &b){
        return complex(a.x+b.x,a.y+b.y);
    }
    friend complex operator - (const complex &a,const complex &b){
        return complex(a.x-b.x,a.y-b.y);
    }
    friend complex operator * (const complex &a,const complex &b){
        return complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);
    }
}a[N],b[N];
void fft(complex *a,int dft){
    for(int i=0;i<k;i++){
        if(i<rev[i]){
            swap(a[i],a[rev[i]]);
        }
    }
    for(int i=1;i<k;i<<=1){
        complex wn=complex(cos(pi/i),dft*sin(pi/i));
        for(int j=0;j<k;j+=i<<1){
            complex w=complex(1,0),x,y;
            for(int l=j;l<j+i;l++,w=w*wn){
                x=a[l];
                y=w*a[l+i];
                a[l]=x+y;
                a[l+i]=x-y;
            }
        }
    }
    if(dft==-1){
        for(int i=0;i<k;i++){
            a[i].x/=k;
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&x[i]);
        ans+=x[i]*x[i];
        tot+=2*x[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&y[i]);
        ans+=y[i]*y[i];
        tot-=2*y[i];
    }
    double tmp=(-1.0*tot)/(2*n);
    ll l=floor(tmp),r=ceil(tmp);
    if(n*l*l+tot*l<n*r*r+tot*r){
        ans+=n*l*l+tot*l;
    }else{
        ans+=n*r*r+tot*r;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i].x=x[n-i+1];
        b[i].x=b[i+n].x=y[i];
    }
    for(k=1;k<=3*n;k<<=1);
    for(int i=0;i<k;i++){
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(k>>1));
    }
    fft(a,1);
    fft(b,1);
    for(int i=0;i<k;i++){
        a[i]=a[i]*b[i];
    }
    fft(a,-1);
    for(int i=n+1;i<=2*n;i++){
        maxn=max(maxn,(ll)(a[i].x+0.5));
    }
    ans-=2*maxn;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}