花神的数论题 数位dp

题目描述

设$sum(i)$表示$i$的二进制表示中$1$的个数。

给出一个正整数$N$，花神要问你：$prod_{i=1}^nsum(i)$。

数据范围

对于$100$%的数据，$Nleq10^{15}$

考虑每一位二进制的拆解

#include <bits/stdc++.h>
#define mod (ll)10000007
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=50+5;
ll n,a[maxn],ans=1,cnt;
ll qpow(ll a,ll b) {
    ll res=1,base=a;
    while(b) {
        if(b&1) res=res*base%mod;
        base=base*base%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int main() {
    scanf("%lld",&n);
    for(int j=49;~j;j--) {
        for(int i=49;~i;i--) a[i]+=a[i-1];
        if(n>>j&1) a[cnt++]++;
    }
    a[cnt]++;
    for(int i=1;i<=49;i++) ans=ans*qpow(i,a[i])%mod;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

记忆化搜索：

　　$10^{15}$分解二进制位最多有五十位，可以枚举一共有多少位有1，50次

　　$dp[i][j][k]$表示在当前无限制条件下，已经枚举到了第$i$位，有了$j$个1，求有$k$个1的方案数。

　　结束条件$j=k$时才$return 1$。

#include <bits/stdc++.h>
#define mod 10000007
using namespace std;
typedef long long ll;
int a[55];
ll n,dp[55][55][55],ans[55];
ll qpow(ll x,ll y) {
    ll res=1;
    while(y) {
        if(y&1) res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return res;
}
ll dfs(int cnt,int flag,int now,int k) {
    if(now==k) return 1;
    if(!cnt) return now==k;
    if(!flag&&~dp[cnt][now][k]) return dp[cnt][now][k];
    ll res=0;
    int Max=flag?a[cnt]:1;
    for(int i=0;i<=Max;i++) {
        res+=dfs(cnt-1,flag&&(i==Max),now+(i==1),k);
    }
    if(!flag) return dp[cnt][now][k]=res;
    return res;
}
ll query(ll x) {
    int cnt=0;
    ll res=1;
    while(x) {
        a[++cnt]=x&1;
        x>>=1;
    }
    for(int k=1;k<=50;k++) {
        for(int i=0;i<=a[cnt];i++) {
            ans[k]+=dfs(cnt-1,(i==a[cnt]),(i==1),k);
        }
    }
    for(int i=1;i<=50;i++) {
        res*=qpow(i,ans[i]);
        if(res>=mod) res%=mod;
    }
    return res;
}
int main() {
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    scanf("%lld",&n);
    printf("%lld
",query(n));
    return 0;
}