题意:
每一组给出一个数 (m~(2 leq m leq 10^7)) ,找到数 (m) 的两个大于 (1) 的因数 (d_1) 和 (d_2) ,使得 (gcd(d_1+d_2,m)=1),存在则输出任意一组,否则答案为 (-1) ;
一共有 (n~(1 leq n leq 5 cdot 10^5)) 组测试数据,时限 (2s) ;
分析:
首先最大公约数有两个基本性质
- (gcd(a,b)=gcd(a pm b,b)=gcd(a,b pm a);)
- (if(gcd(a,b)==1)~gcd(a,bc)=gcd(a,c);)
我们考虑把数分解质因数,则 (m=p_1^{k_1} cdot p_2^{k_2} cdots p_g^{k_g}),考虑 (d_1=p_1^{k_1}~,~d_2=p_2^{k_2} cdots p_g^{k_g}),那么首先可以确定
- (gcd(d_1,d_2)=1;)
- (m=d_1 cdot d_2;)
因为 (gcd(d_1+d_2,d_1)=gcd(d_1+d_2,d_2)=1),
则 (gcd(d_1+d_2,m)=gcd(d_1+d_2,d_1 cdot d_2)=gcd(d_1+d_2,d_1)=1;)
那么只要 (m) 至少有两个不同的素因数就一定有解,介于题目的规模,所以得先用欧拉筛 求出每个数的最小素数;
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define li long long
#define pb push_back
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define frep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
const int N = 5E5+10;
const int M = 1E7+10;
int pr[M],minpr[M],cnt;
int ANS[N][2];
void eular(int n)
{
rep(i,2,n){
if(!minpr[i]) pr[++cnt]=i,minpr[i]=i;
for(int j=1;j<=cnt&&i*pr[j]<=n;j++){
minpr[i*pr[j]]=pr[j];
if(i%pr[j]==0)break;
}
}
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0),cout.tie(0);
eular(1e7);
int n,x,a;
cin>>n;
rep(i,1,n){
cin>>a; x=a;
int now=1;
while(x%minpr[a]==0) now*=minpr[a],x/=minpr[a];
if(now!=1&&x!=1) ANS[i][0]=now,ANS[i][1]=x;
else ANS[i][0]=ANS[i][1]=-1;
}
rep(i,1,n)cout<<ANS[i][0]<<" ";
cout<<endl;
rep(i,1,n)cout<<ANS[i][1]<<" ";
}